Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
метод Гамильтона - Якоби и переменные действие - угол, а также основы
теории возмущений. Большая часть материала остальной части книги
интересна лишь в историческом отношении.
Е. F u е s, Storungsrechnung, т. V. Handbuch der Physik.
Предшествующая статья этого тома, написанная Л. Нордхеймом и Е. Фюзом и
озаглавленная "Hamilton - Jacobische Theorie", касается теории Гамильтона
- Якоби, в сущности, лишь в последних разделах. Помимо некоторых общих
положений этого метода, здесь коротко рассматривается вопрос о
возможности разделения переменных. Статья Фюза является в этом отношении
более полной. В ней подробно рассматривается многопериодическое движение
и вводятся переменные действие - угол. Кроме того, в ней подробно
рассмотрена задача Кеплера (исключая комплексное интегрирование). Больше
половины этой статьи посвящено теории возмущений, при изложении которой
ясно раскрывается вся сложность этой теории по сравнению с теорией
квантовых возмущений.
P. Frank, Die Differential Oleichungen allgemeiner Mechanischer Svs-teme,
r. 2 книги Frank und von M1 s e s, Die Differential- und Integral-
gliechungen der Mechanik und Physik *)•
Эта глава представляет компактное изложение всей механики на весьма
высоком уровне. В отношении вопросов, изложенных нами в настоящей главе,
известный интерес представляют здесь §§ 4-7. Особенно ценным является
весьма общее изложение вопроса о системах с разделяющимися переменными,
которое проводится в § 5 и основывается на работе Штеккеля (Staeckel).
Имеется некоторый материал по вопросу о связи теории Гамильтона - Якоби с
геометрической оптикой. Предыдущая глава книги содержит подробное
изложение геометрической оптики на основе уравнения Гамильтона - Якоби
для одной точки.
С. Caratheodory, Variationsrechnung.
В этой книге рассматривается связь между теорией Гамильтона и общей
теорией уравнений первого порядка в частных производных. Из изложения
этого вопроса видно, что уравнение Г амильтона - Якоби играет в этой
связи существенную роль. Подробное рассмотрение этих вопросов даётся
здесь в связи с так называемой теорией "характеристик".
С. L. Char lier, Die Mechanik des Himmels.
В этой книге рассматривается применение метода Гамильтона-Якоби в
небесной механике. В главе 2 рассматривается много-периодическое
движение, а в главах 6 и 7 - теория возмущений и применение её к проблеме
трёх тел. Более полное в математическом отношении исследование этих
вопросов можно найти в книге Н. Poincare, Les Methodes Nouvelles de
Mecanique Celeste.
L. В r i 11 о u i n, Les Tenseurs en Mechanique et en Llasticite.
В главе VIII этой книги подробно рассмотрено движение поверхностей S-
const в пространстве конфигураций. В главе IX рассмотрена связь между
классической механикой, геометрической оптикой и волновой механикой.
*) Имеется русский перевод: Франк П. и М и з е с Р., Дифференциальные и
интегральные уравнения математической физики, ОНТИ, Л.-М., 1937.
ГЛАВА 10
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В предыдущей главе мы рассматривали системы, движение которых можно
описать с помощью ряда Фурье, содержащего основные частоты nj и все
линейные комбинации этих частот. Важным частным случаем такого движения
являются колебания столь малой амплитуды, что при этом возбуждаются
только основные частоты, а более высокие гармоники практически не
проявляются. Переменные действие-угол оказываются в этом случае не вполне
подходящими, и поэтому здесь применяются специальные методы, являющиеся
более элементарными. Теория малых колебаний находит широкое применение в
акустике и теории молекулярных спектров, а также при изучении
взаимодействующих электрических контуров. Кроме того, она подготавливает
путь для перехода к механике непрерывных систем и полей, которые мы
рассмотрим в следующей главе.
Мы будем рассматривать те колебания, которые возникают при небольших
отклонениях системы от состояния устойчивого равновесия (хотя вообще
можно рассматривать и такие колебания, которые возникают при небольших
отклонениях от режима устойчивого движения).
§ 10.1. Постановка задачи. Рассмотрим системы, потенциал которых является
функцией только координат их точек. Уравнения, связывающие обобщённые
координаты qv ...,qn с декартовыми, будем считать не содержащими времени,
т. е. исключим из рассмотрения связи, зависящие от времени. Мы будем
говорить, что система находится в равновесии, если действующие на неё
обобщённые силы равны нулю, т. е. если
Следовательно, при равновесии потенциальная энергия системы имеет
экстремум. Если начальная конфигурация системы является равновесной и её
начальные скорости равны нулю, то она и дальше будет оставаться в
равновесии. Примером механической системы, находящейся в равновесии,
может служить висящий маятник, лежащее на столе яйцо, или баллистический
гальванометр в нуле-
(10.1)
§ 10.1]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
341
вом положении. Можно было бы привести и много других примеров.
Равновесие называют устойчивым, если движение, получающееся в результате
