Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдстейн Г. -> "Классическая механика" -> 131

Классическая механика - Голдстейн Г.

Голдстейн Г. Классическая механика — М.: Наука, 1975. — 413 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayamehanika1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 161 >> Следующая

5. (а) Покажите, что при малой амплитуде колебаний энергия простого
маятника равна
Ё = /V.
(Ь) Рассмотрите маятник, состоящий из тяжёлой точки, подвешенной на нити,
проходящей через отверстие. Предположим, что нить втягивается через
отверстие, вследствие чего длина маятника уменьшается, причём это
происходит настолько медленно, что в каждый момент времени ещё можно
говорить об определённом периоде колебания. Вычислите работу, которая
затрачивается при этом на преодоление натяжения нити, и найдите таким
путём изменение энергии маятника. Покажите, что переменная У = ?/v будет
при этом оставаться постоянной.
Изменение внешних параметров системы со скоростью, малой по сравнению с
собственной частотой, называют адиабатическим изменением. Поэтому
переменная J в этом маятнике будет адиабатическим инвариантом. Вообще,
можно доказать, что если система не вырождается, то переменные У*
являются адиабатическими инвариантами, т. е. не изменяются под действием
медленного изменения внешних условий. Заметим, что в квантовых процессах
каждое состояние системы также является адиабатическим инвариантом, так
как медленное изменение внешних параметров не приводит к переходу из
одного состояния в другое. Это даёт ещё одно указание на целесообразность
пользования переменными J{ при описании квантования системы.
6. (а) Пусть гармонический осциллятор задачи 4 будет полностью
вырождающимся, т. е. все его частоты будут одинаковыми (изотропный
осциллятор). Получите для него "истинные" переменные и выразите его
энергию только через одну переменную J.
(Ь) Решите задачу об изотропном осцилляторе, пользуясь переменными
действие - угол (У, w) и применяя сферические координаты. Получите
"истинные" переменные (У, w) и сравните полученный результат с
результатом задачи (а). Будут ли эти две системы переменных одинаковыми?
Каков их физический смысл? (Эта задача показывает, что в случае
вырождающегося
33S ML ГС I I I A.MU.IbfOHA - ЯКОБИ |ГЛ. У)
движения разделение переменных возможно более чем в одной системе
обобщённых координат. В случае иевырождающегося осциллятора разделение
переменных можно произвести в декартовых координатах и нельзя произвести
в полярных.)
7. В случае вырождающегося плоского движения гармонического осциллятора
разделение переменных возможно в любой декартовой системе координат.
Получите соотношения между переменными действие - угол, соответствующими
двум декартовым системам координат, образующим друг с другом угол 0.
(Заметим, что рассматриваемое преобразование переменных (J, w) не
является ортогональным.)
8. Вычислите элементарными методами интеграл (9.68) из задачи Кеплера.
9. Интегрируя каждое из уравнений Гамильтона - Якоби в задаче Кеплера,
получите W в виде суммы трёх интегралов. Из соотношений
V = iiF дополучите затем интегральные выражения для трёх угловых
переменных. Покажите, что с точностью до аддитивной постоянной углы и w2
имеют смысл азимута линии узлов и угла между линией узлов и радиусом-
вектором перигелия. При интерпретировании получающихся интегралов удобно
отношение j'ij'2 заменить па cos я, где я угол между плоскостью орбиты и
полярной осыо Z.
10. Уравнение орбиты в задаче Кеплера можно получить с помощью равенства
(9.29Ь), выражая ах - Е и яв - / через J2 и j'3 . (Обратите внимание на
изменение смысла утла о.) Выполните необходимое интегрирование н получите
уравнение орбиты, а также покажите, что
где а - главная полуось орбиты, а с - её эксцентриситет.
11. Рассмотрите релятивистскую задачу Кеплера, пользуясь переменными
действие - угол и гамильтонианом (7.20). Покажите, в частности, что
полная энергия движущейся точки (включая энергию покоя) определяется
равенством
(Заметим, что вырождение здесь частично уменьшается, так как орбита
перестает быть замкнутой, хотя остаётся ещё плоской.) Покажите, что при
с-> оо мы приходим к равенству (9./5).
Рекомендуемая литература
М. Born, The Mechanics of the Atom.
По сравнению с большей частью книг, на которые мы ссылались в предыдущей
главе, книга Борна выделяется обилием материала по применению метода
Гамильтона-Якоби и переменных действие - угол. Много-периодические
движения и теория возмущённого движения изложены здесь, несомненно,
полнее, чем в других книгах на эту тему, написанных на английском языке.
A. Sommerfeld, Atomic Structure and Spectral Lines.
Метод Гамильтона - Якоби и переменные действие - угол изложены в этой
книге значительно менее подробно, чем в книге Борна. (Вероятно,
j:
V
JJL
Jo
РЕКОМЕНДУЕМАЯ .111 ГЕИЛГУРА
поэтому рассматриваемые вопросы часто оказываются более лёгкими для
чтения.) Особо следует отметить изложение вопроса о связи вырождающихся
движений с разделением переменных. В приложении к этой книге производится
вычисление интегралов из задачи Кеплера с помощью теории вычетов (что,
впрочем, делается и в книге Борна).
J. Н. Van V 1 е с k, Quantum Principles and Line Spectra.
В главе "Mathematical Techniques" автор этой книги коротко рассматривает
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed