Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
частоты и длины волн. Единственное, что мы пока установили, это то, что
искомая длина волны должна быть значительно меньше того расстояния, на
котором становится заметной неоднородность силового поля. Дальше этого
мы, естественно, не могли идти, так как, будучи аналогом геометрической
оптики, классическая механика является той областью, в которой не
встречаются эффекты, зависящие от длины волны (интерференция, диффракция
и т. п.). "Поэтому, хотя двойственность "частица - волна" имеет место и в
классической механике, однако волновой концепции здесь не предоставляется
случая обнаружить своё преимущество перед корпускулярной.
Тем не менее, можно попытаться написать волновое уравнение, для которого
уравнение Гамильтона - Якоби является своего рода пределом при Х->0.
Сходство между уравнениями (9.94) и (9.83) не означает, конечно,
что величине L должно соответствовать
именно W, так как оно может соответствовать величине, пропорциональной L.
Мы увидим, что коэффициент пропорциональности является здесь мерой длины
волны. Из соответствия между L и W следует, что S = W-Et должно быть
пропорционально фазе
колебания
k0 (L - ct) = 2 -,t^
[см. равенство (9.91)]. Следовательно, энергия Е и частота ч должны быть
пропорциональны, и поэтому можно написать
Е - hi. (9.96)
Но длина волны связана с частотой соотношением
hi =5 и,
откуда с учётом (9.85') получаем
, и Е ,Е
' ч р ' h '
т. е.
Х=А. (9.97)
336
МЕТОД ГАМИЛЬТОНА ЯКОБИ
[гл. 9]
Уравнение (9.87) можно записать в виде
где и - скорость световой волны в среде с показателем преломления п. Если
заменить здесь ср на <ре~*шП то это уравнение примет вид
что представляет собой волновое уравнение, не содержащее времени.
Величина ср является здесь амплитудой колебания, и в волновой механике ей
должна соответствовать некоторая величина ф, удовлетворяющая уравнению
такого же типа, как уравнение (9.98). Но X равно теперь h/p, где р =
yr2m(E-V). Следовательно, волновое уравнение, для которого W является
эйконалом, должно иметь вид
Равенство (9.99) выражает известное уравнение волновой механики-
уравнение Шрёдингера.
Из формулы (9.97) видно, что длина волны прямо пропорциональна
коэффициенту h. Поэтому, чем меньше h, тем меньше длина волны и тем
теснее связь с геометрической оптикой.
Эквивалентность уравнений Гамильтона - Якоби и эйконала была установлена
Гамильтоном в 1834 г., а соответствующее волновое уравнение было получено
Дебройлем и Шрёдингером в 1926 г. Иногда высказывают мнение, что если бы
Гамильтон пошёл немного дальше, то он получил бы уравнение Шрёдингера.
Это, однако, не так, ибо для такой экстраполяции он нуждался в
достаточном экспериментальном материале. В то время, когда жил Гамильтон,
классическая механика считалась абсолютно верной, и не было оснований для
экспериментальной проверки её с целью уточнения и создания более общей
теории. Другими словами, Гамильтон не имел основания считать, что h
отлично от нуля. Тот факт, что классическая механика является лишь
приближением волновой механики и что это приближение представляет своего
рода "геометрическую оптику", стал ясен значительно позже, когда были
обнаружены эффекты, зависящие от длины волны частицы [например, в
интерференционных опытах Дэвиссона (Davisson) и Гермера (Germer)]. Только
после этого можно было приписать определённый физический смысл величине
h, являющейся известной постоянной Планка *).
*) Аналогичное положение имело место и в волновой теории света. Пока не
были обнаружены явления интерференции и диффракции, волновая теория
Гюйгенса не имела преимуществ по сравнению с корпускулярной теорией
Ньютона.
(9.98)
(9.99)
ЗАДАЧИ
Теперь мы видим, что классическая механика содержит в себе зёрна
квантовой механики и что уравнение Гамильтона - Якоби особенно удобно для
перехода от первой из них ко второй. Дальнейшее углубление в эти вопросы
вывело бы нас за рамки данной книги, которую с достаточным основанием
можно назвать "Геометрической оптикой волновой механики".
Задачи
1. Уравнение (9.3), определяющее функцию S, было получено нами с помощью
канонического преобразования, осуществляющего переход от канонических
координат (q, р) к постоянным (а, (5). Покажите, что верно и обратное, т.
е. если S (д^, а{, t) есть любой полный интеграл уравнения (9.3), то
определяемые равенствами (9.6) и (9.7) переменные (qp pf) будут
каноническими и, следовательно, будут удовлетворять уравнениям
Гамильтона.
2. Решите задачу о движении материальной точки в однородном
гравитационном поле, пользуясь методом Гамильтона--Якоби. Найдите также
уравнение её траектории.
3. Рассмотрите задачу о тяжёлом симметричном волчке с одной неподвижной
точкой, пользуясь методом Г амильтона - Якоби. Получите для неё
формальное решение (5.56).
4. Найдите собственные частоты гармонического осциллятора с тремя
степенями свободы, пользуясь переменными действие - угол и считая, что
коэффициенты сил, действующих вдоль каждой из осей, являются различными.
