Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
явной функцией от t.) Таким образом, можно написать
_ (Ж (консервативные) ,, ...
I системы }' 0-51)
и уравнения (1.50) примут вид
d гдТ\ д (Т - V) q dt \dqj ) dqj
Далее заметим, что потенциал V является функцией только положения
системы и, следовательно, не зависит от обобщённых скоростей qj.
п дТ d(T-V)
Поэтому частную производную -г- можно заменить на ---:--
dqj dqj
и получить
d ( d (Т - V) \ d(T-V)
/ d(T-V) ч
\ да* )
: О,
dt \ dqj ) dqj
или, вводя новую функцию - лагранжиан
L - Т-V, (1.52)
можно записать уравнения (1.50) в виде
-)--~ = 0. (1.53)
dt \ dqj ) dqj
Во всех случаях, когда не будет сделано специальной оговорки, мы под
уравнениями Лагранжа будем понимать уравнения (1.53).
§ 1.5. Потенциал, зависящий от скорости, и диссипативная функция.
Уравнения Лагранжа можно представить в форме, подобной (1.53), и
тогда, когда система не является консервативной
в обычном смысле слова. Это удаётся сделать в том случае, когда
обобщённые силы Qj можно получить из функции U {qj, qj) посредством
равенства
= - (1.54)
* dqj ^ dt \dqj) 4 '
В этом случае уравнения (1.53) получаются из уравнений
(1.50)
при лагранжиане, равном
L = Т-U. (1.52')
§ 1-Ь|
потенциал, зависящий от скорости
33
Величину U можно назвать "обобщённым потенциалом" или "потенциалом,
зависящим от скорости" *). Возможность использования такого "потенциала"
имеет не только академический интерес; такой потенциал можно применить к
очень важному силовому полю - полю электромагнитных сил, действующих на
движущийся электрический заряд. Учитывая важность этого случая,
остановимся на нём несколько подробнее.
В единицах системы Гаусса уравнения Максвелла имеют вид:
VX?4-|^- = 0, V - /> = 4"р, VX# -, V-? = 0.
с dt с
(1.55)
Известно, что сила, действующая на заряд q, не вполне определяется
электрической силой
F=qE = - 7V9,
и следовательно, этот заряд не является консервативной системой в обычном
смысле. Полная сила, действующая на движущийся заряд, равна
F=q{E+\(pXB)\. (1.56)
Вектор Е не есть градиент скалярной функции, так как V
X 0;
из равенства V ¦ В = 0 следует, что вектор В можно представить
в виде
8 - У X А> (1-57)
где А - так называемый векторный магнитный потенциал. Тогда первое из
уравнений (1.55) примет вид
vX?+j|-(vx/l) = Vx(?+^)-0.
что позволяет написать
2 дА с
ИЛИ
*р-4ж- <ш>
*) История этого термина довольно курьёзна. По-видимому, он был сначала
введён (и ошибочно) Вебером в классической электродинамике, где
постулируются силы, зависящие от скорости. Немецкий математик Е. Шеринг
был, видимо, первый, кто серьёзно пытался ввести такие силы в механику
(см. GOtt. Abh. 18, 3, 1873). Так, например, в первом издании Уиттекера,
Аналитическая Динамика, 1904, есть ссылка на потенциал в смысле
"потенциальной функции Щеринга". Однако этот термин, по-видимому, не
вошёл в употребление, так как в последующих изданиях он был исключён. Мы
отдаём предпочтение Термину "обобщённый потенциал", включая в это понятие
также и обычную Потенциальную энергию, являющуюся функцией только
положения.
34
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРИНЦИПОВ
[гл. 1
(*XVXAL = ^(
Отсюда следует, что так называемая сила Лоренца (1.56) выражается через
потенциалы " и А следующим образом:
F=9j_V?-I-^- + l(z(XVXA)}. (1-59)
Члены равенства (1.59) можно записать в более удобной форме, Для того
чтобы получить её, рассмотрим составляющие
дАу дАх\ _ гдАх дА ^
дх ду ) ~ дг дх )
дАу дАг дАх дАх дЛя дЛх ~~ Vу дх + Vz дх ^ Vя дх ъ'у ду Vs дг
V* дх '
последнем выражении мы добавили и вычли член .j Пол-
ная производная Ах по времени равна
| / дАх I дАх .
dt ~ dt ^ \ х дх ' У ду ^Va дг )'
Первый член здесь возникает вследствие непосредственного изменения Ах со
временем, а второй - вследствие движения заряда, так как это приводит к
изменению координат точки, к которой относится Ах. Учитывая предыдущие
равенства, можно составляющую (v X ^ X А)х записать в виде
а составляющую Fx в равенстве (1.59) - в виде
д..
Так как скалярный потенциал " не зависит от Скорости, то это равенство
можно написать в виде
dU , d dU
где
дх dt dvx
U=q'i - f A-v. (1.60)
Таким образом, величина U является обобщённым потенциалом в смысле
(1.54), и, значит, лагранжиан заряженной частицы, движущейся в
электромагнитном поле, можно записать в виде
... I Я " .. /1 С1Л
§ 1.5] ПОТЕНЦИАЛ, ЗАВИСЯЩИЙ ОТ СКОРОСТИ 35
Следует заметить, что если из сил, действующих на систему, потенциалом
обладают лишь некоторые, то уравнения Лагранжа можно записать в виде
d / dL \ dL п
dt \ dqj) dqj J '
где L, как и ранее, получается из сил, обладающих потенциалом, a Qj
представляют собой обобщённые силы, не имеющие потенциала. Такое
положение часто встречается тогда, когда в системе имеются силы трения.
В ряде случаев сила трения пропорциональна скорости движущейся точки, так
что её составляющая по оси х выражается равенством
Ffx ~ kxVj..
В этих случаях силы трения могут быть выражены через диссипативную
функцию Рэлея, равную
