Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
орбиты и её форму (т. е. длину главной полуоси и величину
эксцентриситета). Поэтому рассматриваемые переменные особенно удобны при
изучении орбит планет, в связи с чем они находят применение в астрономии,
где переменные w', J' известны под названием элементов Делоне орбиты
(Delaunay elements). Когда в движении участвуют только два тела, то эти
элементы являются константами движения (за исключением w$). Но если
имеются небольшие возмущения, вызванные, например, другими планетами или
спутниками данной планеты, то движение получается более сложным, хотя
часто можно считать, что рассматриваемое движение характеризуется этими
же элементами, но медленно изменяющимися во времени. В этих случаях
переменные w', J' оказываются весьма полезным инструментом для изучения
таких возмущений.
В течение долгого времени переменные действие - угол применялись только в
астрономии. Однако положение резко изменилось с появлением квантовой
теории атома Бора, так как при этом было установлено, что квантовые
соотношения проще всего получаются как раз с помощью переменных У.
В классической механике значения переменных У могут изменяться в
непрерывном диапазоне. Однако в квантовой механике это не имеет места,
так как квантовые условия Зоммерфельда и Вильсона требуют, чтобы движение
ограничивалось теми орбитами, для которых "истинные" переменные У имеют
значения nh, где h - квант действия, а п - любое целое число. (Переменные
У считаются "истинными", если соответствующие частоты не вырождаются и
отличны от нуля; такой переменной является, например, /А.) Как показал
Зоммерфельд, переменные действие - угол открывают широкие возможности для
квантования, так как при этом требуется лишь решить соответствующую
задачу классической механики и, заменяя затем У на nh, произвести
квантование.
В качестве примера мы рассмотрим квантование энергетических уровней атома
водорода. Оно сразу получается из равенства (9.75), если положить там k =
Ze2 и - nh:
Б = <9'77>
§ 9.7] ЗАДАЧА КЕПЛЕРА В ПЕРЕМЕННЫХ ДЕЙСТВИЕ УГОЛ 329
где п - так называемое главное квантовое число. В случае полностью
вырождающейся системы оно является единственным квантовым числом.
Положение, однако, изменится, если ввести релятивистские поправки,
учитывающие прецессию перигелия в плоскости орбиты. Тогда угол w2,
определяющий положение этого перигелия, будет изменяться со временем, и
переменная J2 станет "истинной", вследствие чего её тоже нужно будет
квантовать, полагая
/2 = kh,
где k -радиальное квантовое число. Так как частоты и отличны от нуля, то
энергия Е будет теперь зависеть как от J$, так и от У2, т. е. от п и от
k. Таким путём можно построить известную релятивистскую теорию
энергетических уровней атома водорода.
Для того чтобы полностью устранить вырождение, можно ввести однородное
магнитное поле, направленное вдоль произвольной оси, скажем, оси z.
Плоскость орбиты будет тогда совершать прецессию Лармора (Larmor) вокруг
этой оси, и угол w' будет равномерно
увеличиваться. Поэтому j[ будет "истинной" переменной действия, и должно
будет выполняться равенство
j[ - mh,
где т - магнитное квантовое число. Поэтому энергия будет теперь зависеть
от всех трёх квантовых чисел, в результате чего мы получим эффект
Зеемана, состоящий в расщеплении спектральных линий *).
В период развития старой квантовой теории переменным действие- угол
уделялось много внимания, так как они представляли эффективный метод
теоретического исследования. Но когда после атома водорода стали
рассматривать более сложные системы, положение изменилось, так как
пришлось учитывать много дополнительных сил. С этой целью из классической
механики был заимствован метод расчёта малых возмущений, и поэтому между
классическими и квантовыми методами расчёта таких возмущений имеется
много сходства. Следует, однако, отметить, что методы классической
механики являются значительно более сложными, особенно в случаях
вырождения.
Скоро, однако, стало ясно, что, помимо математических трудностей, здесь
имеются и принципиальные, так как квантовая теория Бора недостаточно
правильно отражает физическую природу явлений. Как известно, выход был
найден благодаря созданию (почти одновременно) волновой механики и
матричной механики. Но так
*) Получаемое таким способом расщепление представляет лишь нормальный
эффект Зеемана. Аномальный эффект Зеемана требует, конечно, учёта влияния
"спина",
330
МЕТОД ГАМИЛЬТОНА ЯКОБИ
[гл. 9
как методы решения квантовых задач были в этих теориях совершенно
различными, то интерес к переменным действие - угол резко уменьшился. В
настоящее время они употребляются только в астрономии (т. е. в
классической механике); в квантовой механике сохранились лишь некоторые
из понятий, связанных с этими переменными, такие, например, как
вырождение.
Хотя это может показаться странным, но новая волновая механика также
связана с теорией Гамильтона - Якоби. Подобно тому как зародышем
матричной механики являются классические скобки Пуассона, зародыш
