Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, мы получаем следующее условие равновесия системы:
Ff'br^Q, (1.41)
§ 1,4j ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 2§
Согласно этому условию виртуальная работа активных сил, приложенных к
уравновешенной системе, равна нулю. Принцип, выражаемый уравнением
(1.41), часто называют принципом виртуальных работ. Заметим, что
коэффициенты при 8г* в уравнении (1.41) уже не равны нулю, ибо в общем
случае ф 0. Это связано с тем, что перемещения 5не являются независимыми,
так как они подчинены соотношениям, накладываемым на них связями. Для
того чтобы приравнять эти коэффициенты нулю, нужно так записать уравнение
(1.41), чтобы в нём фигурировали не виртуальные перемещения brit а
виртуальные изменения независимых координат qt.
Уравнение (1.41) удовлетворяет требованиям, которые мы поставили в начале
этого параграфа: оно не содержит реакций /*. Однако уравнение (1.41)
относится лишь к случаю равновесия, а нам нужно получить принцип,
справедливый для общего случая движения. Чтобы получить такой принцип, мы
применим приём, предложенный Яковом Бернулли и развитый впоследствии
Даламбером.
Уравнения движения
Fi-Pi
можно записать в виде
Fi - Pt - 0
и трактовать его как уравнение равновесия i-й точки системы под действием
реальной силы Ft и "эффективной силы"-pt. Встав на
такую точку зрения, мы можем свести динамику к статике. Тогда
вместо (1.38) мы будем иметь
А)-8^ = 0 (1.410
i
и, разбив силу Fi на активную силу р\а) и реакцию связи /{, получим
2 (F? -Pi) ¦ Щ- 2/i • S'i = о-
i i
Здесь мы опять ограничимся системами, для которых виртуальная работа сил
равна нулю. Окончательно будем иметь
2(^0)-Л)-8/4 = 0. (1.42)
г
Полученное равенство часто называют принципом Даламбера *). Таким
образом, мы достигли нашей цели: реакции связи более не входят в наши
уравнения, и индекс (а) теперь можно опустить, не боясь недоразумений.
Однако мы ещё не получили уравнений движения в достаточно удобной форме.
Для этого нам нужно привести уравнение (1.42) к такому виду, при котором
оно будет
*) Обычно этот принцип называют принципом Даламбера - Лагранжа. {Прим.
перев.)
30 ОБЗОР ЭЛ&МЕНТАРНЫХ ПРИНЦИПОВ [ГЛ, 1
содержать виртуальные вариации В qi независимых обобщённых координат qi
(для голономных связей). Тогда каждый из коэффициентов при bqi мы сможем
приравнять нулю и получить таким путём уравнения движения.
Переход от rt к qi совершается по формуле
ri~ri (Qv Ч%> ¦¦¦> Чп> 0
(п- число независимых координат). Для скорости Vi э г1 при этом
получается выражение
о-43"
J
Точно так же произвольное виртуальное перемещение 8rt можно связать с
вариациями bq^ соотношением
<'-44>
S
Заметим, что в этом равенстве не содержится вариация времени 8/, так как
по определению виртуального перемещения оно обусловливается только
изменениями координат q{.
Виртуальная работа сил Fi выражается через координаты ^ следующим
образом:
? Fi • 8r{ = ^ Fi ¦ bq. = J] Qfa, (1.45)
i i, j 3 j
где Q - так называемые обобщённые Силы, равные
0-46)
i
Заметим, что подобно тому, как обобщённые координаты не обязательно
должны иметь размерность длины, обобщённые силы Qj не обязательно имеют
размерность силы. Однако произведение Qfaj всегда имеет размерность
работы.
Рассмотрим теперь другой член уравнения (1.42), равный
2 Л • 8*4 = J] nifi ¦ 8г{.
г ъ
Выражая 8rt согласно (Ь44), его можно записать в виде
Рассмотрим теперь сумму
drt\ "I ч (drt\\
§ 1*4] принцип -даЛам-бера- И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 31
В последнем члене этого равенства можно поменять порядок
дифференцирования по t и по qj, так как
d / дг( \ _ VI д2г,: • , дгГ{
dt \dqj dqj dqu '* dqj dt '
что согласно (1-43) равно -4^-. Кроме того, из (1.43) видно, что
QQj
= (1.48)
dqj dqj
Совершая все описанные преобразования, мы для суммы (1.47) получаем:
V - drt V I d ( dv{\ dVi)
1W ~sj; = 2i{w Г • JT) ~ W • jr\ •
i i * 3
Таким образом, интересующий нас член уравнения (1.42) принимает вид
Обозначая кинетическую энергию 2 через Т, мы можем
i
окончательно записать принцип Даламбера в виде
Пусть теперь рассматриваемые связи будут голономными (только в этом месте
мы используем это предположение о голономности). Тогда координаты qj
будут независимыми, и любая вариация bqj не будет зависеть от вариации
bqk. Поэтому равенство (1.49) будет иметь место тогда и только тогда,
когда все коэффициенты при отбудут обращаться в нуль, т. е. когда будут
выполняться равенства
- -= Q-. (1.50)
dt \dqjJ dqj
Всего мы получим п таких уравнений.
Уравнения (1.50) обычно называют уравнениями Лагранжа, однако это
название часто употребляют, имея в виду случай, когда уравнения (1.50)
пишутся для консервативной системы. В этом случае силы Ft получаются из
потенциальной функции V по формуле
Fj = - ViV,
§2 06808 элементарны х принципов [ТЛ. 1
где V - потенциальная энергия системы. Обобщённы" силы ty могут быть
записаны в виде
г J i
Это выражение совпадает с выражением для частной производной
функции - V(rlt г2 гдт) по (Заметим, что V может и не быть
