Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
служить координаты центра диска д:, у, угол ф поворота диска вокруг своей
оси и угол ft между осью диска и, скажем, осью д: (рис. 6). В силу связи
"качения" скорость центра диска будет пропорциональна производной ф:
<о = а'.р,
где а - радиус диска. Направление этой скорости будет перпендикулярным к
оси диска. Далее имеем:
х - v sin 6,
у = - V COS 9.
Рис. 6. Вертикальный диск, катящийся по горизонтальной плоскости.
§ 1.3]
связи
2?
Отсюда, учитывая предыдущее равенство, получаем два дифферен~ циальных
уравнения связи:
dx - a sin 0 dcp = 0, |
dy -(- a cos Ь d<f = 0. J О-З?)
Эти уравнения, очевидно, не могут быть проинтегрированы, пока вся задача
не решена полностью. Такие неинтегрируемые связи являются частными
случаями неголономных связей (как мы уже видели, ограничения,
накладываемые неголономными связями, могут иметь вид неравенств).
Задача о движении системы с голономными связями формально всегда может
быть решена, что частично объясняется возможностью исключения зависимых
координат. Однако для задач с неголономными связями общего метода решения
не существует. Правда, дифференциальные уравнения неголономных связей
можно рассматривать совместно с дифференциальными уравнениями движения л
тогда можно исключить зависимые величины с помощью метода множителей
Лагранжа, который мы рассмотрим позже. Однако в более специальных случаях
неголономных связей требуется индивидуальный подход к каждой задаче. При
формальном изложении классической механики почти всегда предполагается,
что любая имеющаяся связь является голономной. Это ограничение несколько
сужает применимость общей теории, несмотря на то, что в повседневной
практике нередко встречаются неголономные связи. Причина этого состоит в
том, что связи, наложенные на систему, обычно реализуются посредством
различных поверхностей, стенок или стержней и играют заметную роль лишь в
макроскопических задачах. Но современных физиков интересуют главным
образом микроскопические системы, в которых все объекты (как внутри
системы, так и вне её) состоят из молекул, атомов и ещё более мелких
частиц, порождающих определённые силы. Понятие связи становится в таких
системах искусственным и встречается редко. Связи используются здесь лишь
как математические идеализации, полезные при описании действительной
физической картины, или же как классические приближения при изучении
квантовомеханических процессов (например, "спин" и представление о
вращении твёрдого тела). Такие связи всегда являются голономными и хорошо
укладываются в рамки рассматриваемой теории.
Трудность второго рода, как уже указывалось, состоит в том, что реакции
связи априори не известны. Чтобы преодолеть эту трудность, мы должны так
поставить задачу, чтобы реакции связей в ней не фигурировали. Тогда нам
придётся иметь дело лишь с силами, которые известны. Указание на то, как
это сделать, можно получить, если обратиться к частной системе со
связями, а именно к твёрдому телу. Реакциями связей здесь служат
внутренние
28
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРИНЦИПОВ
[гл, 1
силы, и мы знаем, что работа этих сил равна нулю. Этот факт и послужит
нам основой для обобщений, которые мы в дальнейшем сделаем-
§ 1.4. Принцип Даламбера и уравнения Лагранжа. Виртуальным (бесконечно
малым) перемещением системы называется произвольное бесконечно малое
изменение ей конфигурации, согласующееся со связями, наложенными на неё в
данный момент t. Виртуальным это перемещение называют для того, чтобы
отличить его от действительного перемещения, происходящего за некоторый
промежуток времени dt, в течение которого силы и связи могут измениться.
Пусть системе находится в равновесии, т. е. полная сила, действующая на
каждую её точку, равна нулю. Тогда будем иметь /7i = G и, следовательно,
произведение Fi • 5Гр равное работе силы Fi на виртуальном перемещении
brit также будет равно нулю. Сумма таких произведений, взятая по всем
точкам системы, также должна быть равна нулю:
2 /V 3г4 = 0. (1.38)
i
В полученном равенстве ещё нет нового физического содержания. Чтобы
получить его, разобьём Fi на активную силу Ff^ и реакцию
СВЯЗИ fi'
(1-39)
и уравнение (1.38) примет вид
2F'f • S/ч-f -2fi- 8/"i = 0. (1.40)
i i
Мы будем рассматривать лишь такие системы, для которых виртуальная работа
реакций связи равна нулю. Как мы знаем, это условие справедливо для
любого твёрдого тела. Однако оно справедливо и для большого числа других
систем. Пусть, например, на точку наложена связь, заставляющая её
оставаться на заданной поверхности. Тогда реакция связи будет
перпендикулярной к этой
поверхности, а виртуальное перемещение точки будет касательным
к ней, следовательно, виртуальная работа реакции будет равна нулю.
Следует заметить, что это утверждение перестаёт быть справедливым при
наличии силы трения, и такие системы мы должны исключить из нашего
рассмотрения. Однако это ограничение не является очень сильным, так как
трение представляет в сущности макроскопическое явление.
