Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
(а- радиус сферы), которое отлично от соотношений вида (1.35). Если эта
частица находится в поле силы тяжести, то, будучи положенной на вершину
шара, она станет скользить по его поверхности лишь на части своего пути,
а затем покинет её.
Кроме того, мы будем различать связи по тому, зависят они явным образом
от времени или нет. В первом случае мы будем называть их реономными, а во
втором - склерономными. Примером реономной связи может служить бусинка,
скользящая по движущейся проволоке.
Связи вносят в решение механических задач две трудности. Первая из них
состоит в том, что не все координаты являются независимыми, так как они
связаны определёнными соотношениями; следовательно, не все уравнения
(1.18) будут независимыми. Вторая трудность заключается в том, что силы,
развиваемые связями, например сила, с которой проволока действует на
бусинку или
связи
25
стенки сосуда действуют на молекулу газа, априори не заданы. Они являются
неизвестными величинами данной задачи и подлежат определению. В сущности,
наложить на систему связи - это означает просто указать, что имеются
силы, которые непосредственно не известны, но которые определенным
образом влияют на движение системы.
В случае голономных связей трудность первого рода разрешается введением
обобщённых координат. До сих пор мы встречались только с декартовыми
координатами, и система, состоящая из N материальных точек, будучи
свободной от связей, имела 3N независимых координат, или, другими
словами, 3N степеней свободы. Если на эту систему наложены голономные
связи, выражаемые k уравнениями вида (1.35), то мы можем с их помощью
исключить k координат из общего числа 3N и получить, таким образом, лишь
3N-k независимых координат. В этом случае про систему говорят, что она
имеет 3N-k степеней свободы. Исключение зависимых координат может быть
произведено и другим путём. Он состоит в том, что вводят 3N-k независимых
переменных qv q2, . . ., qiN_k, которые позволяют выразить координаты rv
гг, ...,rN через эти переменные. В этом случае мы будем иметь соотношения
вида:
ri = rifai> •••> 9т-к> *)• 1
(1.36)
выражающие гг через qv Уравнения связей в них явно не содержатся
Уравнения (1.36) являются уравнениями преобразования переменных гг к
переменным qv Их можно также рассматривать как параметрическое
представление переменных (гг). В отличие от декартовых координат
обобщённые координаты не разделяются на три группы, позволяющие
образовать соответствующие векторы.
В случае, когда движение точки ограничено поверхностью сферы, обобщёнными
координатами будут два угла, определяющих положение точки на сфере,
например широта и долгота. В примере с плоским двойным маятником,
изображенным на рис. 5, обобщёнными координатами будут углы bL и 02.
Обобщённые координаты (отличные от декартовых) часто оказываются
полезными и в системах без связей. Так, например, в задаче о точке,
движущейся в поле Центральной силы [V - V(г)], связи отсутствуют, но
ясно, что здесь Удобнее воспользоваться сферическими полярными
координатами, "ежели декартовыми.
Рис. 5. Двойной маятник.
26
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРИНЦИПОВ
На обобщённые координаты не следует смотреть как на ортогональные
координаты, определяющие положение точек системы. В качестве обобщённых
координат могут быть взяты любые величины, определяющие положение
рассматриваемой системы. Так, например, в качестве таких координат можно
взять амплитуды в разложении rj в ряд Фурье. В ряде случаев может
оказаться удобным использовать в качестве обобщённых координат величины,
имеющие размерность энергии или кинетического момента.
Если связь неголономная, то выражающие её уравнения не могут быть
использованы для исключения зависимых координат. Примером, который часто
в этом случае приводится, может служить тело, катящееся по шероховатой
поверхности. Координаты, определяющие
положение этой системы, можно разбить на две группы: на группу угловых
координат, определяющих ориентацию данного тела, и на группу координат,
определяющих его положение на поверхности. Но если качение происходит без
скольжения, то эти две группы координат оказываются зависимыми, так как
изменение в ориентации тела неизбежно приводит к изменению его положения
на поверхности. Однако уменьшить число координат этой системы мы не
можем, так как условие "качения" не выражается в виде уравнения типа
(1.35), связывающего координаты. Скорее оно является условием,
ограничивающим скорости (скорость точки касания равна нулю). Таким
образом, это условие является дифференциальным, и проинтегрировать его
раньше, чем задача будет решена, невозможно.
В качестве иллюстрации рассмотрим следующий простой пример. Пусть диск
катится без скольжения по горизонтальной плоскости ху, причём связь
такова, что плоскость диска во всё время движения остаётся вертикальной.
(Таким диском может быть одно из двух колёс, посаженных на общую
горизонтальную ось.) Координатами, определяющими эту систему, могут
