Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
9.17. Полная свободная энергия для l/2N частиц с вектором М,
ориентированным в положительном направлении оси г, в отсутствие поля
имеет вид
Ffi = |у Л12 (Db sin2 а4-Da cos2 а) - МН cos <pjy NV =
= const - -j- (Db - Dn) M2 cos 2а - МИ cos <pjy NV.
Для системы остальных 1/2N частиц имеем аналогичное выражение с заменой а
и <р на ос' и <р' соответственно (рис. 9.17.1).
При равновесии dF7/d(p ='-dFT/da = 0 и д2Рт/дф2>0, следовательно,
h sin ф - у sin 2 (6 - ф) = 0, h sin ф' - - sin 2 (8' - ф') =0,
где h = M(Db-Day
Для случая, когда 8 = 8' = л./2, a = a', ф = ф', условия равновесия
приводят к следующим соотношениям:
Лвтф - со5ф5тф = 0, или Л = cosф (sinфф0).
249
Начальная восприимчивость по определению есть производная
тн
Ъ = Т[г-
где МН = М cos ф. Отсюда
*° = Db-Da (0=2~)'
Для Ыа= 10; 5 и 1 имеем: х0 = 0,169; 0,191 и оо. Возвращаясь к общему
случаю, заметим, что
M" = jM (совф + совф'), или m" = Y (т^ + тнг), где тн = Мн/М. Рассмотрим
разложение mHl(h) при h = 0i
dmHl
Для h - 0 условия равновесия требуют, чтобы sin (0 - ф)х xcos(0 -ф) = 0,
или 0 = ф. Следовательно,
тИ1 (0) = cos ф = cos 0.
Чтобы найти dmHJdh, определим сначала mHr = c.osy = x, (1 - jc2)1-'2 =
sin ф, а = sin 20, ft = cos 20. Тогда условие равновесия запишется в виде
(1 - х2) (.х2 + 2hbx -f h2) = а2/4,
и, следовательно,
dx__________2(1 -*2)3/2
dh ах (3 - 2*2) _ 2Ь (1 - га)3/2 * При h = 0 имеем: ф = 0, и мы находим
= sin2 0.
dx
dh
Далее мы видим, что
а=о
еРх ________________________-6а V1 - х2_dx
dh2 \ах (3 - 2*2) _ 2Ь (1 - *2)3/2 ]2 dh
и при h = 0
Н*г
¦ш . п = -3cos0sin20. dn' h= 0
Поэтому
тт (h) = cos 0 + sin2 0 ¦ h - 3/2 cos 0 sin2 0 ¦ h2 -f... Аналогично
тнг W = cos 0' -f sin2 0' ¦ h - 3/2 cos 0' sin2 0' ¦ h2 +...
Но 0' = л -0 и cos 0'= - cos0, sin 0' = sin 0, отсюда следует, что mH (h)
= sin20-Л-f ¦ ¦¦.
250
поскольку коэффициент при h2 равен нулю. Окончательно
sin2 0
Xo-?>*-ZV
что для второго приближения является вполне хорошим резуль^ татом.
Настоящая модель может быть применена к магнитно-мягкому ферромагнетику,
кристаллические зерна которого ориентированы вдоль определенного
направления.
Необходимо также, чтобы Ь->а и чтобы доменные стенки были закреплены на
границах зерен. Следует отметить, что модель применима и в случае
керамики с ориентированными кристаллами (например, для ферритов).
9.18. Начальную восприимчивость можно записать в виде
_ dM/dx Хо - dH/dx
н=о
При перемещении одной 180°-ной границы на dx изменение на-, магниченности
будет
dM = 2М dx.
Обозначим через Fw полную энергию на единицу поверхности-доменной границы
и через Fwl-возрастание энергии на единицу площади границы,
локализованной в определенном положении. Если доменная граница
расположена на расстоянии х (x<Lr) от центра сферы, то площадь границы
уменьшается на величину л (г2 - х2). Если число включений на единицу
объема равно N (N=l/l3)y то энергия на единицу площади границы
Fwt = Fw[l-N>/>n(r2-x2)] (х<г).
Когда поле Н приложено параллельно плоскости доменной) границы, полная
свободная энергия
FT = Fwt-2HMx.
При равновесии dFr/dx = 0, следовательно,
" jiFwN2/3 " dH _ nFwN2/3 М Х' dx М ¦
Отсюда
2М2 hK^N2'3 '
так как F", = /Ci6, где б -толщина границы.
9.19. Пусть 6 -угол между вектором намагниченности М и-направлением а;.
Остаточная намагниченность задается выраже--нием Мг = М cos (ф - 6).
Тогда
~ar = M sin^-e)^,
поскольку дМ /да яа 0.
251
Далее в силу соотношения \^)н = т[ш)а ^см' задачУ 9-10)
величина дМг/да не зависит от а и может быть оценена для ст->0 при 0->О.
Следовательно,
дМг ¦ /<Й\
-^ = MsmT (й)в=о.
Полная свободная энергия -это сумма магнитной свободной энергии
FH = - НМ cos (ф - 0) и магннтоупругих свободных энергий
Fa. = -3kK<3i cos2 8, Fa = -3/2Xsct cos2 (ф - 0).
При равновесии
HM sin (ф - 0) = 3^s [от,- cos 0 sin 0 - cos (ф - 0) sin (ф - 0)].
Остаточная намагниченность существует при Я = 0; таким образом, для 0->О
находим, что
о О .
0 = - sin ф cos ф.
Следовательно,
дМ, М . "
-а-Г = - Sin2 ф COS ф. да
Для случайного распределения Oi
дМг _ М_ да ~ 4о,- *
поскольку
Я/2
sin2 фсов q>dq>
9.20. Для одноосного кристалла энергия доменной стенки, приходящаяся на
единицу ее объема, равна Fjd, и магнитостатическая энергия, обусловленная
поверхностными эффективными магнитными зарядами, приближенно равна M2d/L
на единицу объема. Тогда
р F* МЫ
Рт=ч + -¦
При равновесии dFT/dd = 0, поэтому
л VFwL
а~ М 1
Для кубического кристалла к энергии стенок добавляется только
магнитоупругая энергия, связанная с напряжениями, возникающими в области
замыкающих доменов. Отношение объема
252
* 2d2/4 d
замыкающих доменов к объему кристалла равно - 2~L-
В этом случае магнитоупругая энергия равна cuJii00d/4L, где Сц -упругие
модули, a Ji100 - магнитострикция вдоль направления [100]. Из условия
минимума полной энергии получаем
9.21. Вектор р, проведенный из некоторого выбранного начала координат в
место нахождения определенного атома или иона, можно записать через
