Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
магнитную энергию.
2) Z = 2ch^ + 2ехр ( - ^=)?%*3 ехр ( - и соотношение
¦kT -----kTj кТ
_2N (2ц)3 Н ~ 3kT 3 kT
снова имеет вид закона Кюри. Однако теперь отдельные пары связаны с
обменным ферромагнитным взаимодействием, и эта совокупность пар ведет
себя, как парамагнетик.
3) Z=2ch^ + 2exp(-^)^ехр
Л*=№ехр(-^)~0,
т. е. мы получим результат, которого и следовало ожидать, поскольку пары
связаны антиферромагнитным взаимодействием.
4) Z^2ch^, Мъ2Wfith^^2Wji.
Последнее соотношение справедливо для насыщенного парамагнетика, когда
обменное взаимодействие мало и приложенное поле велико.
5) Z = exp(-^(l+2ch^
4ЛГц sh (2pH/kT) 2дг" th 2РН ^2NlL
Ш 1+2 ch (2pH/kT) ¦"vHi ln kT ~ fA,
т. e. мы получим полностью упорядоченный ферромагнетик.
6) Z?"exp^,
М - 4Afy.exp j^J 2N\i exp ^^
^ 2A^fi exp (- |f) ^ 0,
следовательно, последний случай относится к упорядоченному
антиферромагнетику.
9.9. Свободная энергия кристаллографической анизотропии для кубических
кристаллов может быть записана в виде
Fk = /Ci (afai + + аЦа?) + /С2"1а*"з.
где аи otjj и аэ - направляющие косинусы, определяющие ориентацию вектора
намагниченности по отношению к ребрам куба,
242
Ki и Kz - константы магнитной анизотропии при данной температуре.
Для случая, когда вектор намагниченности М составляет угол ф с
направлением [100], а^соэф, a^ = sin ф, аэ = 0. Поскольку sin 2ф = 2cos ф
sin ф и зт22ф = (1 - cos 4ф)/2, то
F к = Ve^i (1 - cos 4ф).
Выражение для магнитной свободной энергии имеет вид
FH=-MHcos(Q - ф).
Если другими видами энергии можно пренебречь, то общая свободная энергия
будет равна Ft = FK-\-FH. Применительно к условиям равновесия (д7Удф = 0)
это дает
1/2Ki sin 4ф = МН sin (6 - ф).
В поле, ориентированном произвольным образом, вектор намагниченности
будет параллелен приложенному полю, и следовательно, 9 = ф. Так как
вращающий момент по определению равен Т = - OFt/dQ, то находим, что
Т = - 1/2/(isin40.
Для диска, вырезанного параллельно плоскости (110), значения направляющих
косинусов следующие: = (cos 0)/]Л 2, =
= (cos0)/^2 и a3 = sin0, где, как и раньше, 0 -угол между N1 (и Н) и
направлением [100]. В этом случае
F к = /Ci (cos4 0 + 4 sin2 9 cos2 0) + K2 sin2 0 cos4 0,
откуда следует, что
T = - у /Сх (2 sin 20 + 3 sin 40) - ^ Кг (sin 20 + 4 sin 40 - 3 sin 60).
9.10. Свободная энергия Гиббса определяется как G = & - TS,
где
Щ = и - НМ - a J d(j).
Здесь ? -энтальпия, U - внутренняя энергия, S - энтропия и 6/// -
относительное удлинение образца.
При постоянной температуре
d.G - - MdH - у da,
поскольку dU = Т dS + H dM. Поскольку dG - полный дифференциал, то
(дМ\ _ 1 (<Н\ [да }м~ 7 \дН)а'
243
9.11. Скалярный магнитный потенциал задается выражением
ф=-Mjjvidw.
В случае г>а (точки вне сферы)
ЧгПа*
Л М cos В С , 4 ,, , cos 6
Ф = -5- \ dv - лМа3
Г2 .) з /-3
о
Для г<.а вещество вне сферы, согласно закону Гаусса, не будет давать
вклада в потенциал. Следовательно,
Л М cos е f . 4 ,, "
Ф = -^- V dv= nMr cos 0.
о
Поскольку
U <ЗФ . 1 <ЭФ . 1 дФ .
Ч-- Уф =----------г,.-------5-/0----------------- г",
3/- г /• дб 0 /• sin в dtp 4,1
то отсюда следует, что поле внутри образца
Н' = - 4/3л.М (cos 0 ¦ ir - sin 0 ¦ /е) = - 4/элМ.
Но, по определению, Н' = -DM, и поэтому для сферы размагничивающий фактор
D = 4/3л.
9.12. В общем случае собственная магнитная энергия задается соотношением
~ J М Н' dv= у J MVydv.
Рассмотрим
i J V(Mp)?fo = i J 9VMdi" + ~ J МУф^и, Следовательно,
Fd = - рф dv + y ^ GlP dS'
где p = VM -объемная магнитная плотность, a a = M n - поверхностная
плотность "магнитных зарядов".
Пусть St и S2 -внешняя и внутренняя поверхности образца соответственно, а
oi и а2 - соответствующие поверхностные магнитные плотности. Далее, пусть
ф< -потенциал, а Щ = - ^ - поле, создаваемое о,-. Поскольку р = 0, то
получаем
Fd=-g ^ °i9i dS± +^2 ^ а1Фг dSi 5 агФ1 ^2 "b'jT 5 °2Фг^2-
<S] Si <Sg
244
Первый член представляет собой энергию поверхностных магнитных зарядов
CTj в их собственном поле Н[, которое однородно в объеме Эта энергия
является той же, что и для частицы, находящейся вне полости с однородной
намагниченностью УИ, а именно: - у ^ М ¦ Н\ dv.
i'i
Последний член представляет собой энергию поверхностных "магнитных
зарядов" сг2 в их собственном поле Нкоторое однородно в объеме v2¦ Эта
энергия является той же, что н для частицы, которая может заполнить
полость с однородной намагниченностью - М, а именно: -f- у ^ M-Hzdv.
V,
Второй и третий члены равны, так как ср( = ^ у dSt. Вместе
они составляют взаимную энергию распределений двух систем "магнитных
зарядов".
. Поскольку поле Н'г однородно в объеме v2, но неоднородно в объеме Ух
(за пределами v2), то мы можем заменить второй член третьим. Третий член
представляет собой энергию тела, способного заполнить полость с
однородной намагниченностью
- М в поле Н[, т. е. -f- - ^ М ¦ ff2 dv. В этом случае можно
записать:
Fd= - ~- ^ M-Hidv+ ^M-H[dv + ~ jj M-H'.dv.
L', L'a
Предположим далее, что St имеет главные оси, совпадающие с осями Х{, yi,
