Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
рис. 6.8.2,а полярную сетку, то на рис. 6.8.2,б сетка получится такой же,
но расстояния между радиусами окажутся немного больше (хотя будут равны
друг другу), а расстояния между соседними кругами окажутся неодинаковыми.
Таким образом, и$ пропорционально г и линейно зависит от 6, а иг не
зависит от 0.
На основании геометрии рис. 6.8.2,а и б имеем
Компоненты относительных смещений в прямоугольной системе координат будут
Используя уравнение (6.8.1), находим компоненты смещений для краевой
дислокации
Здесь Ь/4 и Ь/2л - трансляции тела как жесткого целого; ими можно
пренебречь. Эти смещения должны удовлетворять уравнениям равновесия
Для удобства запишем
(6.8.2)
(l_2v)V*M + g = 0, (i_2v)V"o + | = 0,
(/|ф I СJw ^ и
где e~ qx~t ду представляет собой дилатацию. Если ввести вращение
то уравнения равновесия примут вид
д (ае)_____doi д (ае)______________ да>
дг ду ' ду дх '
где а - (1 - v)/(l - 2v). В точке (г, 6) получим
д (ае)_____ 1 ды
(6.8.3а)
дг г дв '
I д (ае) дсо
7 дв ~ ~ дг'
(6.8.36)
182
Из рис. 6.8.2,а и б следует, что
Согласно уравнению (6.8.3а) получаем
ае = ^ (In г + const).
(6.8.4)
Если вводится клиновидная дислокация, то объем диска единичной толщины и
радиуса г изменяется на
причем произведением const ¦ г, представляющим собой трансляцию тела как
жесткого целого, можно пренебречь.
Подставляя величину / в уравнения (6.8.2), находим смещения"
обусловленные дислокацией:
6.9. Если трубчатая полость проходит вдоль центра винтовой дислокации,
то имеют место два обстоятельства:
1) из-за того, что удален напряженный материал, высвобождается упругая
энергия;
2) добавляется поверхностная энергия, связанная со стенками трубки.
Равновесный радиус гй трубки найдем из условия равенства этих величин:
здесь 7 -удельная поверхностная энергия, ц -модуль сдвига, Ь - вектор
Бюргерса. Отсюда получаем
Для большинства кристаллов - О, Ijxa, где а -параметр решетки. Ядро
дислокации является полым (в физическом смысле), если гй > а, т. е. если
b > За. Для металлов b ~ а, поэтому нельзя ожидать наличия ролых винтовых
дислокаций.
Г
2пгиг (г) = $ 2пег dr,
о
что дает
р.Ь2 г° - 8л2у ¦
183
Область материала под экстра-полуплоскостью краевой дислокации выглядит,
как зародыш трещины (рис. 6.9.1). Вопрос в том, может ли из этого
зародыша получиться пора.
Как описано выше, при образовании такой поры высвобождается некая упругая
энергия и добавляется некая поверхностная энергия. По теории Гриффитса
[68] трещина размером г может расти под действием нормального напряжения
а, если приращение энергии
л (1 - v) aV2
8 р.
где v - коэффициент следует, что
16р,у
¦2уг> 1, Пуассона. Отсюда
агг> ¦
л(1- v) ' Г^е а ~ 2л (1 - v) г"
Ядро дислокации является полым (трещина существует), если г>а, т. е. если
Ь > 4 У 2/ьп (1 - v) а ~ 3,5а.
Очевидно, в металлах краевые дислокации не будут полыми.
Итак, приходим к выводу, что в чистых металлах ядра дислокаций не
являются полыми, а построены из плохого кристаллического материала; от
бесконечных напряжений, следующих из теории, избавляются путем введения
нелинейных упругих смещений.
Если в результате сегрегации твердого раствора ядро дислокации
оказывается состоящим из материала с меньшей температурой плавления,
тогда при нагревании выше этой температуры ядро плавится до равновесного
радиуса
цЬ2
ДО
Рис. 6.9.1. Потенциальный зародыш трещины (заштрихован) под
экстраполуплоскостью краевой дислокации.
/V
(r)л2Уиежфазк '
где 7межфазн - удельная энергия поверхности раздела твердой и жидкой фаз.
При этом
Фсублия гтверд
10,
7межфаэн 2жид|
здесь фСублим и Qnлайп - скрытые теплоты сублимации и плавления, a z -
координационное число.
Это означает, что в данном случае 7 составляет десятую часть от величины,
входившей в вычисление радиуса полого ядра. Следовательно, можно ожидать,
что ядро дислокации будет полым при высоких температурах, если Ь> 2 А.
Ясно, что в большинстве металлических систем при повышении температуры
материал в ядре дислокации будет испаряться. В керамических "сплавах"
диффузионные константы обычно выше,
184
и поэтому реально возможно существование расплавленных дислокационных
ядер.
6.10. Рассмотрим ненапряженное изотропное тело, не содержащее дислокаций.
Допустим, что внешняя сила Flt действующая на единицу площади, создает
однозначное упругое смещение "!. Упругая энергия такой системы равна
dS>
где S - площадь поверхности, на которую действует внешняя сила.
Введем теперь дислокацию, сделав разрез и приложив затем две силы к
плоскостям разреза: силу Flt чтобы сохранить тело жестким, пока
производится разрез, и силу Fz, чтобы произвести относительное смещение
поверхностей разреза на и2. Упругая энергия самой дислокации равна
^2 = 2 ^ ^2 ¦ И2 ^ I
если А - площадь поверхностей разреза.
Упругая энергия всей системы равна
U = и1-\-иг + работа силы Fx при смещении и2.
(Заметим, что сила совершает работу и на площади S, и, через посредство
поля напряжений, на А.)
