Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
будет равен
D = 1/4а2 • 2/з/ = 1/<fl2v ехр (- AV/kT).
б) Температурная зависимость очевидна из классической статистико-
механической трактовки частоты скачков (см. задачу 6.5). Дальнейшие
термодинамические ограничения коэффициента диффузии обусловлены тем, что
потенциальное поле V (*), в котором движется межузельный атом, является
полем колебательным, поэтому V (х) нужно заменить полем .
V(x)-*-V (х, у, г, X, рХ1 ру, рг, Р),
где X - координаты всех атомов, кроме атома, находящегося в точке
(x,y,z), а Р - их моменты. Следовательно, AV нужно заменить изменением
свободной энергии AG, необходимым, чтобы медленно двигать диффундирующий
межузельный атом от дна к вершине потенциального барьера. (Величина AG
называется свободной энергией активации.) Тогда коэффициент диффузии для
межузельной диффузии, например в ОЦК кристалле, можно записать так:
D = Vea2v ехр (- AG/kT), где величина AG на основании уравнения Гиббса -
Гельмгольца
Рис. 6.6.1. Межуэельные положения в элементарной ОЦК ячейке.
179
равна AG = ДЯ - Т AS = АН + Т-^г. Считая АН и АТ не зависящими от
температуры, получаем
D = V6fl2v exp (AS/k) ¦ exp (- AH/kT).
(Заметим, что наклон кривой lnD(l/T) равен АН, а не AG.)
Обычно записывают:
D = D0exp (- AH/kT),
гдЮ-15-1013^ 10"3. Экспериментально получено,
что D0(0,1 -5- 10). Эта аномалия обусловлена энтропийным фактором
exp(AS/fe), который можно оценить следующим образом.
Рассмотрим модель, построенную на основании теории упругости:
AG = const ¦ (д., где (д, -модуль сдвига. Имеем
А с, дЛG , dll
^ = ~§Т ~ ~ const ' df"
AS___ 1 __ d (In ц)
ДС dT - dT~ ¦
т. e. AS/AG определяется скоростью изменения модуля сдвига при
изменении температуры. Подставляя ~~^(-3-10'4)°С-1,
АН яа AG ^ 2 эв, получаем
exp (AS/k)'-' 10а -г- 103,
a D0~ 10_3-ь 1. [Такая же поправка относится и к растворимости (задача
6.1), где exp (AS/k) ~ 10-г-102, и к образованию вакансий (задача 6.3),
где exp (AS/k) ~ 103.]
в) Рассмотрим кристалл, к которому приложено чисто сдвиговое
напряжение (рис. 6.6.2). Приложенное напряжение может совершать работу,
рождая вакансии на растянутых гранях и перенося их к сжатым граням. Пусть
[У -энергия образования вакансии. В присутствии приложенного напряжения
сдвига а]/2 эта энергия уменьшается до i/ -ста3, если считать, что а2 -
площадь, приходящаяся на один атом, на которую действует нормальное
напряжение, а ста3 -работа, которую надо затратить, чтобы удалить этот
атом.
б
Рис. 6.6.2. Миграция точечных дефектов под действием напряжения.
Стрелками внутри образца показаны пути миграции атомов.
180
Таким образом, при тепловом равновесии концентрация вакансий на
растянутых гранях больше, чем на сжатых, на величину ехр (2aa3/kT), т. е.
эффект приложенного напряжения заключается в том, что изменяется градиент
концентраций вакансий.
Считая, что к результирующей диффузии вакансий можно применять законы
Фика, получаем, что поток атомов равен const х
X где длина образца, D - коэффициент диффузии,
a atf-^kT.
Прирост деформации, обусловленный каждой перенесенной вакансией, равен
а3/1, поэтому скорость деформации оказывается равной
6.7. Эту задачу впервые решали Гринвуд и Спейт [67] для случая миграции
газовых пузырьков продуктов расщепления в ядерном горючем.
Рассмотрим сферическую пору с диаметром, равным целому числу межатомных
расстояний па. Объем такой поры, равный г/вп (па)3, в 1/апп3 раз больше
объема атома матрицы. Поэтому, если атом с поверхности перескакивает на
расстояние а, то пузырек газа перескакивает на расстояние 6а/лп3. Кроме
того, так как на поверхности пузырька имеется пп2 атомов, частота скачков
пузырька равна лл2/, если / - частота скачка для атома, диффундирующего
сквозь поверхность пузырька. Считая движение такой поры аналогичным
броуновскому движению, приходим к выводу, что коэффициент диффузии D
пропорционален произведению частоты скачка на квадрат длины скачка (см.
задачу 6.5), т. е.
Если считать, что вид / такой же, как в задачах 6.5 и 6.6, то эту формулу
можно переписать так:
где V -дебаевская частота, k - постоянная Больцмана, Т - абсолютная
температура, a AS и АН - соответственно изменения энтропии и энтальпии
при изменении свободной энергии AG, необходимом для того, чтобы
продвинуть диффундирующий атом сквозь энергетический барьер между
соседними узлами решетки.
Поскольку длина скачка обратно пропорциональна п3, а частота его прямо
пропорциональна п2, то очевидно, что миграция поры в результате
поверхностной диффузии должна происходить со скоростью, обратно
пропорциональной п. Иначе говоря, скорость миграции обратно
пропорциональна радиусу поры.
6.8. Поле напряжений клиновидной дислокации обладает цилиндрической
симметрией и не меняется при отражении в пло-
D
181
скости симметрии, проходящей через любой радиус на рис. 6.8.2. Поэтому
два главных напряжения являются радиальными и поперечными по отношению к
радиусу, а величины их не зависят от 6. Это значит, что если нанести на
