Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
атомов. Обозначим их NАА, Nвв, МАВ:
NAA = 1liNpNА< а ¦ 8pNa,$ = N (1 - ay2).
Такое же равенство получим для Nвв. Число связей АВ, относящихся к атомам
А в Р-решетке, равно
^NpNл, р • 8pNBf " = N (1 -- w)2.
Число связей АВ, относящихся к атомам А в а-решетке, равно /V(l+tw)a.
Отсюда следует, что
Nab = [(1 + wf + (1 - w)2] N = 2N (I+w2).
Если VAA, VBB, VAB - соответствующие энергии связи, то полная энергия
связи
E = VaaNaa -j- VBBNBB-\- VABNАв =
=const + NVw2,
где- V = 2VAB - VAA - VBB.
Рис. 6.4.2. Зависимости внутренней энергии Е и энтропии S от параметра
дальнодействуклцего упорядочения.
Энтропия этой системы при температуре Т °К равна
(NA,a + NB,aV- Ра.^В. р)1
S = k In
"л. а' НВл\
NА, Р1 NB, Р1
здесь k - постоянная Больцмана. Воспользовавшись приближением
Рис. 6.4.3. Зависимость свободной энергии F от параметра
дальнодействуклцего упорядочения w для высоких и низких температур.
Обратить внимание на то, что при высокой температуре F минимальна при
полном разупорядочении, т. е. при w- 0.
Стирлинга In х\ 1пх - х для х<^1, получаем
S = - N?[(1 -}-а>) In (1 + а>) + (1 -w) In (1 -w) - 2 In 2].
На рис. 6.4.2 схематически показаны зависимости внутренней энергии Е и
энтропии S от параметра дальнодействующего упоря-
176
дочения w. Зависимости Е, - TS,F от w при разных Т даны на рис. 6.4.3.
Равновесная степень упорядочения определяется условием минимума свободной
энергии F = E - TS по отношению к параметру упорядочения w. Дифференцируя
F по w, получаем
о\т i/i NkT , 1 +uj Л
2NwV Ч-п- In -г-1- = 0.
1 2 1 - w
График зависимости w от температуры представляет собой монотонно
спадающую кривую (рис. 6.4.4). Критической температуре превращения Тс
(когда ш = 0) отвечает условие d2F/dw2 = 0. Очевидно, что Е = NVw2 +
const, а вблизи
щ = 0 1
¦ Nkw2 + (члены, содержащие и;3). Отсюда следует, что
F = n(v+ ~ kr) w2.
дшг
*L = o
dw*
d2F =2 Nlv + ikT^j,
если
2
Г = ГС
2V
Рис. 6.4.4. Зависимость параметра дальнодействующего упорядочения w от
температуры.
Так как для неупорядоченной структуры V = 2V АВ - V АА - VBB
отрицательно, то, очевидно, значение Тс будет положительным .
6.5. Рассмотрим две параллельные единичные площадки из межузельных
атомов, находящиеся на расстоянии / друг от друга
и, а/помой пг атомов
а)
¦ dx
6)
Рис. 6.5.1. Модели, по которым выводятся законы Фика для диффузии
межузельных атомов.
(рис. 6.5.1, а). Пусть соответствующие числа занятых узлов равны п1 и п2.
Один атом совершает / скачков в секунду. Поэтому N атомов совершают Nf
скачков в секунду, т. е. в целом, если Л^ -общее число атомов, то в
секунду происходит Nf скачков.
177
Отсюда
._ число атомов, совершающих скачки за 1 сек
' общее число атомов
Поток диффундирующих через площадку А В атомов равен
j =у Я1/- 2 n-if.
(Множитель 1/2 введен потому, что половина атомных скачков происходит в
одном направлении, а вторая половина-в противоположном.)
Объемная концентрация межузельных атомов с = п/1, и если 1~Ь, то
Отсюда получаем
где D = у b2f - коэффициент диффузии.
Рассмотрим теперь единичную площадку на расстоянии dx (рис. 6.5.1, б):
Изменение концентрации во времени
Для перескока межузельного атома из одного положения в соседнее нужно
сообщить ему дополнительную энергию, чтобы
он мог "протиснуться" между мешающими ему атомами матрицы. Допустим, что
этот процесс представляет собой случайное блуждание. Можно полагать, что
частота его будет выражаться так:
/ = vexp (- AV/kT),
где v - постоянная, ДV - потенциальный барьер между соседними
межузельными положениями, Т - абсолютная температура, k-постоянная
Больцмана.
Поскольку необходимо, чтобы рядом с занятым междуузлием было незанятое,
предположение о случайных блужданиях годится только для диффузии
межузельных атомов в очень разбавленных растворах. Это предположение
недопустимо в случае диффузии атомов замещения, где весьма существенны
эффекты корреляции. Разберем пример такого эффекта.
Рис. 6.5.2. Корреляционные эффекты при само-диффузии.
178
Пусть (рис. 6.5.2) атом замещения 5 перескакивает в вакантный узел V. Но
если не уйдет новая вакансия или не подойдет другая вакансия, весьма
вероятно, что 5 и У снова обменяются местами, т. е. диффузия не будет
процессом случайного блуждания.
6.6. а) Кристаллическая структура налагает геометрические ограничения на
коэффициент диффузии. Как пример рассмотрим диффузию внедренных атомов в
ОЦК структуре.
На рис. 6.6.1 показаны две смежные плоскости (А и В) из межузель-ных
атомов в элементарной ОЦК ячейке. На плоскости А имеется один (4/4)
межузельный атом, который может перескочить на плоскость В. Из каждых
двух межузельных атомов один не может перескакивать, потому что на пути
находится объемноцентрирующий атом.
Поэтому из 1,5 межузельного атома на плоскости А только 2/3 могут
перескакивать на плоскость В. Таким образом, эффективная частота скачков
равна /эфф - 2/з/- Длина перескока b = 1/.ia, где а -параметр решетки.
Поэтому коэффициент диффузии для межузельной диффузии в ОЦК кристалле
