Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
максимальных критических точек и логарифмическую особен-
>- ность (см. (15.16.10)). Кривая
ШдШ aigfSi шд(М') ш энергетического спектра схема
Рис. 15.16.1. Предполагаемая зави- тически изображена на рис.
СИМОСТЬ ЕI ОТ частоты фотонов ДЛЯ 15 10 1
прямых разрешенных межзонных " ,с'/_ Q _______________________________
переходов ,5-17- В окрестности двумерного минимума при
условии, что
матричный элемент р пропорционален СДй, из (15.16.6) находим
| (\р [) |2~? - для 9 >9,, е, = 0 для
(15.17.1)
В окрестности двумерного максимума для прямых запрещенных переходов
первого порядка имеем
для 9<9g(M), = 0 для Ш > 8g.
(15.17.2)
Для окрестности седловой точки расчет несколько сложнее. Если <|р[) =
СДЛ, то (см. (15.16.9))
S
dt
Акх Мах
¦C\Ak?.
dkx
Aftj+Afc"
Aft.
у (Aft,)*-2 [g-g.(S)JM
д**Мах
-a
dkxr^==, (15.17.3)
у тп i n
где a = 2 [B - 9g (5)]/Л. Нижний предел интеграла в уравнении
(15.17.3) есть
Akmin = 0 для а < 0,
Akmin= + Уа для а > 0.
Верхний предел - порядка "размера зоны Бриллюэна.
396
Возьмем интеграл в уравнении (15.17.3):
х Мах Е/ ^ 2dkx
^¦х min
V(Afexmln)2-a
Следовательно, мнимая часть е вблизи энергетического зазора монотонна для
запрещенных переходов первого порядка около двумерной седловой точки.
Форма кривой всего спектра схематиче-ски изображена на рис. 15.17.1.
15.18. В окрестности двумерного минимума (см. задачу 15.16) мнимая
часть диэлектрической проницаемости равна (предполагаем, что матричные
элементы р постоянны)
в i = Для ё >
шд(М) ш
Рис. 15.17.1. Предполагаемая зависимость е(- от частоты фотонов для
(15.18.1) прямых запрещенных межзонных переходов.
6; = О ДЛЯ < Ш
Допустим, что результаты (15.18.1) справедливы для любого значения
энергии ё. Соотношения Крамерса - Кронига дают
ОО
Ел (8)_1 = Ж(
Я .1
dg'
(15.18.2)
Заметим,-что множитель Ш 2 в (15.18.1) существен для сходимости интеграла
в (15.18.2). Выполняя интегрирование в правой части (15.18.2), находим
^ п \2&"
= ^-[2\пШв-ЩШк + Ш)-\а\Шк-Ш\1 (15.18.3)
Аналогично в окрестности двумерного максимума для разрешенных переходов
, 2/С I d%' _2/С?
((r)) 1 ' jr \ /да/2 *>л\ да, \ ------------ =
•) ((c) -1(r)"/ (c) и J s?'
о ~ --- 'л,(r)'*-"*);
= - ~-[21п#е -In(Se + 8) -Inj8e -?|
(15.18.4)
Так как особенность в ег около двумерной седловой точки является
логарифмической, то можно предположить, что особен-
397
----In|S - Sg| + t Х(ступенчатаяфункция)|. (15.18.5)
ность в ег будет ступенчатой функцией. Действительно, вблизи особенности
m-типа (минимум) имеем
Функция в правой части (15.18.5) должна быть аналитической
в верхней половине плоскости %. Функция i (е - 1) также является
аналитической в верхней половине этой плоскости. Ее мнимая часть содержит
логарифмическую особенность, и, следовательно, она представляет е - 1 для
двумерной седловой точки. Ее вещественная часть является ступенчатой ш
функцией с отрицательным знаком. Поэтому
ег = А для Ш <
и (15.18.6)
е, = В для
Рис. 15.18 I. Предполагаемая зависимость гг для двумерных разрешенных
прямых переходов.
¦>*г
причем А>В. Форма кривой полного спектра схематически изображена на рис.
15.18.1.
15.19. Рассчитаем матричные элементы р между валентной зоной и зоной
проводимости для состояния с квазиимпульсом к. В качестве базиса для
валентной зоны выбираем функции X, Y, Z, определенные в задаче 15.14,
1^ k
Y =
Z =
Vkx + kl
i
(kxX-kyY),
(15.19.1)
(kxX + kyY + 2kzZ).
V kx+kl + 4bi
Для собственных функций ft р-гамильтониана в виде (15.14.3) (выбираем
фазы 5, чтобы Р было вещественным) имеем
Л [ 1/1 -f} U>
-4mz)ir
Pk\S)-
№
> / tlkP \2"ll/2
+ Ьг +¦
<? \ 2 Gg
+
(")]
(15.19.2)
398
За оси JE, д, 1, представляющие р, выбираем ось, совпадающую с к, и две
перпендикулярные к ней оси:
= (?* + ?*)>/2 №хРх ЬуРу),
Рг = _j_^s _j_4^2 (kxPx + kyPy 2kzPz) .
Находим матричные элементы, используя волновые функции
(15.19.2):
р
(С I рх | ^)х - ~} 4fc2fi2P2 \ 1 /2 >
1 +
т*Е J
<С!Д,| V>, = (C|p,iV>F
2 1 +
- 1/2
1/2
(15.19.3)
(С \рх I ^)й = (С I Ру V)x= (С \рг\ У}у =
= (С\Ру\ Юг -{С\рх \ V)? = (С\рг\ V)i = 0.
15.20. Длинноволновая электронная диэлектрическая проницаемость для
полупроводника с изотропной шириной Шш приближенно равна [35]
е00=1 + (|^-Т. (15.20.1)
Здесь - почти изотропная ширина запрещенной зоны у края зоны Бриллюэна, а
Шр - плазменная энергия валентных электронов, для которой можно записать
<15-20-2>
где N - концентрация валентных электронов. У этого материала на атом
приходится 4 (валентных) электрона, а на элементарную ячейку - 8 атомов,
поэтому N = 4 ¦ 8 ¦ от3 = 2,01 ¦ 1023 электрон ¦ смг3. Из формулы
(15.20.2) находим Шр = 15,8 зв, а из формулы (15.20.1) *g= 15,8/^11 =
4,75 эв.
15.21. Мнимая часть диэлектрической проницаемости запишется
как
ei(a)=^fNII(%), (15.21.1)
2
где f = ( \р-е | ) 2 - сила осциллятора, a Nd -
суммарная
плотность состояний для энергии Ш -
399
Для упрощения примем
причем
. 2е2 (2т*)3/2 ... , ч ."
л=--и KlP-g|)la-
(15.21.2)
