Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
предположении, что полупроводник вырожден) находится [34] из уравнения
т*
ЙМ k dk )sF т
(15.14.5)
В уравнении (15.14.5) кР- квазиимпульс сферы Ферми (импульс Ферми),
который можно получить из концентрации свободных электронов N, используя
выражение
1 4
N
nkl.
(15.14.6)
4л3 3
Поскольку спин-орбитальное взаимодействие мы считаем пренебрежимо малым,
то спин-орбитальное расщепление валентной зоны Д* должно быть намного
меньше ширины запрещенной зоны <$g (при комнатной температуре) для
соединений типа АщВу. Значения спин-орбитального расщепления приведены в
табл. 15.14.1 [94].
Таблица 15.14.1
AlSb GaP GaAs GaSb InP InAs InSb
gi эв 1,6" 2,24° 1,43 0,7 1,26 0,36 0,80
hs, ав 0,75 0,13 0,33 0,81 0,18 0,43 0,98
392
Буквой а помечены значения ширины запрещенной зоны для непрямых
переходов. Для прямых переходов при k = 0 значения ширины запрещенной
зоны несколько больше.
Следовательно, спин-орбитальным взаимодействием наверняка можно
пренебречь для GaP, InP и, может быть, для GaAs.
15.15. Пренебрегаем ft-р-взаимодействием в зоне проводимости и
считаем, что в нижней валентной зоне имеет место спин-орби-тальное
расщепление, поскольку As^'Sg. Для волновой функции электронов у потолка
валентной зоны выбираем линейные комбинации X, Y, Z, которые
соответствуют волновым функциям момента количества движения для У = 3/2 и
Jz = ±3/i, ± V2, относящимся к направлению ft:
(!• г): /->+.'*>+-/1^;
(|.-т): Уи? + 'Я t+j/fxt- (15.15.1)
Рассмотрим S t зону проводимости. В приближении двухзонной модели зона S
f взаимодействует с волновыми функциями валентной зоны только типа (3/г,
3/2) и (3/2, V2). Соответствующий гамильтониан запишется в виде
где Р - (S | рх | X). Выбираем фазу S так, чтобы Р оказался вещественным.
Диагонализация гамильтониана (15.14.2) дает для зоны проводимости
Выражение (15.15.3) имеет ту же форму, что и (15.14.4), за исключением
множителя 2/3 в подкоренном выражении. Оптическая эффективная масса
определяется соотношением
(15.15.2)
(15.15.3)
(15.15.4)
Импульс Ферми kF получается из (15.14.6).
kp- (Зл2^)1''5 = 3,1 • 10" см К
4 Р* 3 Шет
(15.15.5)
Перепишем (15.15.4) в виде
т 1 I If I 1 I 2/( ft3 ." 1/2
7^ = 1+A41+•где *=
Постоянную К легко определить по значению эффективной массы у дна зоны
проводимости m* (0) = 0,015/п:
= !+/( = 66,7; К = 65,7.
т* (0)
Подставляя это значение К и kF = 3,1 • 106 см-1 в (15.15.5), получаем т*
= 0,032т. Искомое значение плазменной частоты равно
/ 4лNe2 NI/2
"р [ m*BL
= 7,9 ¦ 1013 сек-1
и, следовательно, Хр = 23 мкм. Нулевая (минимальная) отражательная
способность соответствует значению е=1:
Отсюда находим Я(/? = 0) = 24 мкм. В задаче 15.14, полагая зону идеально
параболической, мы получили X(R - 0)= 15,5 мкм. Значит, поправка на
непараболичность зон весьма существенна.
15.16. Особенности Ван-Хова имеют место в тех точках /г-пространства, для
которых
M*.-S*) = 0. (15.16.2)
Запишем: Шс - = -A [cos (kxa) + cos (kya) - 2] (%g - ширина за-
прещенной зоны при k = 0). Особенности Ван-Хова являются совместными
решениями уравнений
- (&с - &v) = Ла sin (akx) = 0,
(Шс - %v) = Аа sin (aky) = 0.
(15.16.3)
Если ограничим значения k первой зоной Бриллюэна, то эти оа> бенности
(kx, ky) будут иметь вид
(0, 0)
k =
+ - о
л
а
(15.16.4)
г)
(0, 0)-минимум (т), ^~ максимум (М), а остальные
критические точки являются седловыми точками (S).
ЗЭ4
Чтобы найти формы е; в окрестности критических точек, разложим
энергетические зоны вблизи них в ряды по kl и ky:
вблизи [0, 0]: Ш - = ~ A [Akl + ДЩ = \ А (ДА:)2,
вблизи [-J, ?]: Ш - Шк (М) = -1 А [Д" + Ak*y]----------{д (Ak)*,
(15.16.5)
вблизи [0, ~j: 8 - (S) = ~ А [Д&* - Д^].
Плотность состояний около двумерного минимума (а также около максимума)
легко получается дифференцированием по Ш (k) функции плотности состояний
внутри окружности радиусом Ak:
= -- для Ш > Ше,
лАг (15.16.6)
Nd(m)= 0 для
Аналогично для окрестности двумерного максимума Nd (М) = 0 для
Na (М) = для Ш < Шв.
(15.16.7)
Плотность состояний около седловой точки находится по формуле
7' ,15Л6-8)
где dl - элемент изоэнергетической линии (в двух измерениях), a L -
полная изоэнергетическая линия, соответствующая энергии ё. Подставляя & -
&e(S) в (15.16.8), находим
Д*
х Мах
W"[S-8*(S)]=-M -= - \ Тт= dkx ,
пМ I Дку яМ ДА;'т.п V (Akx)2 - 2[? - gg(S)]/A
(15.16.9)
где kxма* - максимальная величина kx (порядка размера зоны Бриллюэна
л/а), a kXmm - ее минимальное значение, равное нулю,
если (5), или V2{% - Ше)/А для ?>8g(S). Интегрируя
уравнение (15.16.9), получаем
^Л = лМ Г [^*'Мах ^ ^ J J - In ^ |.
(15.16.10)
Следовательно, плотность состояний имеет логарифмическую особенность
вблизи двумерной критической точки.
395
Для разрешенных переходов е/ пропорциональна Nd/со2. Если нас интересует
только поведение особенностей, то знаменатель со2 А можно считать
приблизительно
постоянным вблизи критического энергетического зазора. Следовательно,
6; будет иметь ступен-
чатые особенности (см. (15.16.6) и (15.16.7)) вблизи минимальных и
