Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
содержит множитель 1+/ для каждого акта испускания фонона (/ - число
заполнения соответствующего фонона) и множитель / - для каждого акта
поглощения фонона.
Вероятность стимулированного испускания нужно вычесть из соответствующей
вероятности поглощения. Для двух рассматриваемых фононов (LO и ТО) имеем
f (LO, 300 °К) = 0,39; f (ТО, 300 °К) = 0,63;
f (LO, 77 °К) = 0,007; f (ТО, 77 °К) = 0,049.
По этим правилам легко получить отношения интенсивностей при
300 °К к соответствующим интенсивностям при 77 °К. Для двух-
фононного комбинационного рассеяния имеем табл. 15.7.2.
Таблица 15.7.1 Таблица 15.7.2
Тип процесса Энергия, 50 Длина волны, мкм
-{-ТО+ТО+ТО 0,06 20,7 3,5
+TO+TO+LO 0,073 17,0 2,7
+TO+LO+LO 0,086 14,4 2,9
-\-LO+LO+LO 0,099 12,5 2,6
-\-TO-\-TO-LO 0,007 177 96
+LO+LO-TO 0,046 26,9 20
Тип процесса Энергия, эв Длина волны, А
-\-TO-\-TO 2,440 5080 2,4
-ТО-то 2,520 4920 160
+LO+LO 2,414 5140 1.9
-LO-LO 2,546 4870 3000
+LO-TO 2,467 5030 !8
+TO-LO 2,493 4980 91
+LO+TO 2,427 5100 2,1
-LO-TO 2,533 4900 700
15.8. Разложение для частот фононов в окрестности й = 0 имеет вид
= шг. (0) + Al I k I2, шг = ш7 (0) + Ат ! k |а.
Так как k не изменяется, а квазиимпульсом фотона можно пренебречь, для
двухфононных процессов получим правило
± ki ± кг = 0
386
(знак "плюс" соответствует образованию фонона, а знак "минус" -
исчезновению фонона). Для изменения частоты Лео в результате процесса
рассеяния получим
Лео = q= сох (0) со* (0) + (q= At q= А2) I k |2.
Рассмотрим случай двухфононного рассеяния и предположим, что Л1 + Л2>0.
Найдем функцию плотности состояний: для Лео - о)! (0) - со2 (0) > 0
Nddсо = dk = ^k2 dk- da =
" 8я3 2л dco
1
1
¦ [Лео - со! (0) - со2 (0)]1/2 dco,
4п (Al + Al)^ для Лео - сох (0) - сог (0) < 0
Wd = 0.
Если Лх + Аг < 0, то выражение для функции плотности состояний имеет вид:
для сох (0) + coj (0) - Лео > 0
^-^Т5ТГ^|<М0)+
+ со2 (0) - Лео]1/2, для coj (0) + со2 (0) - Лео < 0 JVrfdco = 0.
V
V
- Аш
Рис. 15.8.1. Форма кривой двухфононного комбинационного рассеяния.
Пунктирная кривая соответствует случаю уменьшения Лео при возрастании k,
сплошная кривая - обратному случаю.
Такие же результаты получатся и для всех остальных возможных комбинаций
фононов.
Соответствующие формы кривых
показаны на рис. 15.8.1. Если речь идет об испускании двух фононов, то
пунктирные линии соответствуют случаю Лх-|-Л2-<0. Сплошные линии
соответствуют случаю Лх + Л2>0.
15.9. Уравнение движения электрона в переменном электрическом поле Е^е~'ш
запишется в виде
d2s
т
-\- v хй = -еЕ.
Предполагая, что решения для s имеют форму
внм их в (15.9.1) и для компонент sl (i = x, у, г)
систему уравнений
" icoe п
- armxSx--------Bcosy-sy
-Ш
9 I П
- сePrriySy -\-В cos v-s.
с
/сое
(15.9.1)
подета-получим
5cosp-sz = -еЕх, ficosa-sz = -еЕу, (15.9.2)
- co2m,s, +
кое
Bcosa-bu--- BcosP'Sj^- р.Ег
387
где cos a, cos р и cosy -направляющие косинусы вектора В. Для простоты
записи введем обозначение (eB/mfi) = coci и перепишем (15.9.2) в виде
?
- йЛ* - Ш(йсх COS Y-Sjy + cos p ¦ sz = - e --,
mx
?
t(0a>CJ/ cos y-sx - uPsy - i(0(0CJ/ cos a-sz - - e --, (15.9.3)
m
- t(0(ocz cos p ¦ sx + i'oxo" cos a-Sy - (a2sz = - e
У
Ег
Решая систему (15.9.3), получаем s как функцию Е. Величину вклада
свободных носителей в тензор диэлектрической проницаемости находим из
соотношения
А еЕ = - 4 nNes. (15.9.4)
Определитель системы уравнений (15.9.3) можно записать как
- со - i<ocx cos v i(ocx cos fi со° i(ocy cos у - со - i(ocy cos
a
- ico" cos P ico" cos a - со
- - со4 (со2 - (Dc);
здесь со,. - частота циклотронного резонанса, которая дается соотношением
со? = cos2 а ¦ + cos2 р • со"соСЛ + cos2 у ¦ (осхшсу.
Подставляя решения уравнений (15.9.3) в (15.9.4), получаем следующие
выражения для компонент Ае:
C0c2C0cj/
w a 1-------5-cos2 a
. _ in,We2 ____________________
&xx~ m со2-co^ '
(15.9.5)
С0Cy &cy(r)cz _
A XT •> 1-----------о--- C0S a C0S P
. * д _ 4JtjVe2 w со2 r
Остальные компоненты Ае можно получить из уравнений (15.9.5) циклической
перестановкой х, у, г и cos a, cosp, cosy.
15.10. Вклад в компоненты тензора диэлектрической проницаемости,
обусловленный электронами в эквивалентных долинах, с точностью до первого
порядка по В (на основании результатов задачи 15.9) описывается
выражениями
А 4 TiNtf2
AEjcjc- _ _*> }
7,q , (15.10.1)
А . 4kNi^B 1
Де*;/ - 1 ^с~ тхту С0У''1
где NI - число электронов в данной долине. Выражения (15.10.1) записаны в
системе главных осей тензора эффективной массы.
388
Искомый вклад можно записать в виде тензора
i(ieB)]- ds.io^)
Здесь е -полностью кососимметричный тензор третьего ранга, причем еуь =
0, если любые два индекса равны. Если все индексы разные, то ецк = ±\ в
зависимости от четности перестановки индексов.
Фарадеевское вращение изотропно, поэтому вклад всех эквивалентных долин
находится путем усреднения (15.10.2) по всем возможным ориентировкам
эллипсоида эффективной массы. Эта средняя величина эквивалентна
