Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
*4.4. Среда однородно деформируется из состояния с нулевыми напряжениями
в состояние, в котором она находится в равновесии под действием системы
напряжений, задаваемой тензором а,* (/, k = l, 2, 3). Деформация
описывается соотношениями
Xi = Я( + (ZyO/,
где ay-координаты материальной точки Р в ненапряженном состоянии, ^ -ее
координаты в деформированном равновесном состоянии, аг/ -константы
равновесного состояния.
28
В этом новом состоянии производится еще одна бесконечно малая деформация
таким образом, что координаты Xt переходят в Х{, где Xi = Xi-\- (Ру -
бесконечно малые величины, произведениями которых можно пренебречь, и
достаточно малые, чтобы тензор напряжений при новой деформации изменялся
незначительно). Конечное состояние может быть связано с исходным
состоянием выражениями следующего вида:
xi = °i + (Щ + 6оiy) О/.
Показать, что = р^ + Р*р"ру- Показать также, что если начальное
деформированное состояние можно достаточно точно описать тензором
бесконечно малой деформации е.Л, то его изменение при дальнейшей
деформации будет 28eJk = Р/к + Р у-
Кроме того, показать, что изменения компонент тензора конечной деформации
задаются следующим образом:
6Т)(/ = (б" + &ЕЬ1 Фц + <*//) = Jkitek'.J(/. где 6ew определено выше, а
У** - значения градиентов деформации в исходном деформированном
состоянии.
*4.5. В условиях, описанных в задаче 4.4, рассматривается в начальном
деформированном состоянии единичный куб с гранями, параллельными
координатным осям.
Показать, что механическая работа последующей бесконечно малой деформации
единичного объема, соответствующего этому состоянию, равна &W1=aij&Eij.
Исходя из этого соотношения, показать, что работа, приходящаяся на
единицу массы при бесконечно малой деформации, равна
б W = а{, бе^/р,
где р - плотность данной среды.
Показать также, что если работа W, приходящаяся на единицу массы при
конечной деформации, заданной тензором rj.y, взята как функция г\у, то
компоненты тензора напряжений задаются выражениями
j j dW a'i~PJ ikJ i'дцы ш
4.6. Показать, что если среда деформируется при постоянной энтропии, то
по теории бесконечно малых деформаций
4.7. Используя основные термодинамические определения упругих постоянных
второго порядка, найти число этих упругих постоянных и соотношения между
ними для кристаллов кубической симметрии.
4.8. К материалу с кубической симметрией при температуре Т0
изотермически прикладывается напряжение в направлении [100] и измеряются
деформации еи, в22, ем, вызванные этим напряжением. Состояние с нулевыми
напряжениями при температуре Т0
29
принимается за начальное. Деформации достаточно малы, так что можно
применять теорию бесконечно малых деформаций. При температурах Г0 + Л7\
близких к Г" изотермически прикладываются напряжения таким образом, чтобы
общие деформации, включая термические деформации (возникшие за счет
изменения температуры), оставались такими же, как и раньше.
Показать, что необходимая для этого компонента напряжения оп меняется с
изменением температуры по следующему закону:
дап _ а
~ffT~~sTu + 2^ ' где s-T - изотермические коэффициенты упругой жесткости,
а - коэффициент линейного термического расширения и все коэффициенты
вычислены при Т = Т0. Далее показать, что скорость изменения энтропии 5
на единицу массы при изменении компоненты деформации еи при постоянной
температуре равна
/ as \ _ а
Р°\деи/г 5n + 2sira '
4.9. Кристалл кубической симметрии подвергнут гидростатическому сжатию р
при постоянной в течение всего эксперимента температуре Т0.
Показать, что зависимость между давлением и объемом при малых давлениях
есть
т? - з<"г,+*;))>.
где sf,, - изотермические коэффициенты упругой податливости, AV -
приращение первоначального объема У0. Показать также, что если давление
скачком меняется от р до нуля, то сразу устанавливается температура Т'о +
ЛТ', где
д'т* 3Тtfxp .
СоР() '
здесь а - коэффициент линейного расширения, р0-плотность в ненапряженном
состоянии, а Са -удельная теплоемкость при постоянном напряжении.
Вычислить эту величину для КС1, подвергнутого давлению 109 дин/см2 при
300 °К (а = 3,7 ¦ 10~5 град~х,
00 = 6,86 10(r) эрг -г ^град'1', р0 = 1,98 г см 3).
*4.10. В матричном обозначении свободная энергия на единицу массы
материала кубической симметрии как функция компонент конечной деформации
имеет вид
РоF = PqFо + ~2 {cn (t]i + т]| + т]з) + С44 (т]| + т]§ т]|) -)-
+ 2си (%% + т]2т]3 + тьть)} + -i {сш (t]J + TjJ + TiJ) +
+ Зсц2 [t]J (t]2 + T]3) + Т]4 (т]3 + %) т]а (т]! + т]2)] +
+ Зс144 (TliHt + Л-2ЛЁ + ЛзЛ!) + 3ciee hi (т]2 + т]3) +
+ Лв (*1з + %) + Т]е (ть + Лг)] + 6Ci23TliT]2T]3 + 6с43вт]4т]3т]в}.
30
Показать, что связь между объемом и гидростатическим давлением р для
такого кристалла при таком порядке точности задается соотношением
- р = у-1/3 [у 0/2/3 -1) + ? (у2/3 -1 г],
где у = V'/V'o, а = Сц + 2с12, b = V* (cm + 6с112 + 2с123). Показать, что
если У~Уо + ЛУ, то с учетом изменений объема второго порядка
