Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
*3.24. Среди атомных волновых функций s, р, d выбрать необходимые и
достаточные для образования эквивалентных гибридных волновых функций <г,
расположенных вдоль:
а) четырех тетраэдрических направлений;
б) шести октаэдрических направлений;
в) шести направлений тригональной призмы.
*3.25. Из волновых функций s- и p-состояний атома построить четыре
эквивалентные ортогональные гибридные волновые функции так, чтобы их оси
совпадали с четырьмя направлениями ребер тетраэдра. Для описания
воспользоваться следующей системой координат: начало координат в центре
тетраэдра, ось г совпадает с осью одной из волновых функций, а ось второй
волновой функции лежит в плоскости г/ = 0.
*3.26. Угловые волновые функции изолированного атома или иона в свободном
пространстве - сферические гармоники. Они принадлежат различным
представлениям полной группы вращений плюс инверсия. Частные
представления этой группы определяются орбитальным моментом количества
движения. Если ион находится в кристалле, то его симметрия сводится к
подгруппе полной группы вращения, допускающей неприводимое представление
исходной группы в данной подгруппе. Иначе говоря, для некоторых
24
состояний, взаимно вырождающихся в свободном состоянии, вырождение
увеличивается в присутствии окружающих ионов.
Найти, каким образом вырожденные состояния с различными моментами
количества движения иона в свободном состоянии изменяют степень
вырождения, когда ион оказывается в октаэдрическом окружении. Выяснить
для случая октаэдрического окружения, как скажется на симметрии эффект
возмущения, связанный с удлинением кристалла вдоль одной из осей
симметрии третьего порядка. Спиновый эффект не учитывать.
Указание. Сферические гармоники L-го порядка образуют базис представления
Гполной группы вращения. Используя соотношение
Ro.Ylm (ft. ф) = ехр (- iMa) ¦ YLM (ft, ф), (3.26.1)
где Ra - оператор, соответствующий повороту на угол а вокруг оси г, найти
характер представления Г(?-> как функцию а. Воспользоваться им для
нахождения характеров представлений группы О/,, к которой принадлежат
сферические гармоники, и определить, приводимы эти представления или нет.
*3.27. Для свободного электрона волновая функция имеет вид плоской волны
4r = exp(iftr), а его энергия е = й2?2/2т. Если поместить электрон в
периодическую решетку, то он перестанет быть свободным. Тем не менее,
если рассматривать потенциал решетки как малое возмущение, то можно
считать электрон "почти свободным". Волновой функцией такого электрона
будет
ЧГ = ехр ["(*+*) г], (3.27.1)
где К - вектор обратной решетки, a ft - приведенный волновой вектор.
Соответственно энергия будет ? = й2 (ft -\-К)2/2т. Функция
(3.27.1) преобразуется в соответствии с представлениями группы k + K.
Найти, каким образом состояния почти свободного электрона, отвечающие
значениям К типа 2зх (1, 0, 0), 2я(1, 1, 0) и 2я(1, 1, 1) в точке ft = 0,
связаны с состояниями, описываемыми приближением сильной связи, которое
основано на представлении о расщеплении атомных функций задачи 3.26 в
кристаллическом поле.
4. Упругость кристаллов *) [3-8]
В общепринятых учебняках физики твердого тела для студентов старших
курсов предмет теории упругости обычно не рассматривается. Большинство
книг ограничивается определением тензора деформации (только для
бесконечно малых деформаций) и тензора напряжений и связующим их
эмпирическим соотношением, т. е. законом Гука.
Задачи этой главы основаны на другом подходе, при котором
термодинамическое состояние твердого тела определено через компоненты
тензора деформаций. Основными уравнениями теории упругости здесь являются
выражения термодинамических потенциалов через компоненты тензора
деформаций. Упругие
*) J. R. Drabble (University of Exeter).
25
константы определены через производные от этих потенциалов по компонентам
деформации.
Чтобы полнее развить этот подход, важно начать с точного описания
деформации, для чего в некоторых примерах используется тензор конечных
деформаций. Однако чтобы сохранить связь с обычным подходом, в других
примерах используется тензор бесконечно малых деформаций. Задачи этой
главы выявляют различие между этими двумя подходами и показывают, при
каких условиях можно с достаточной точностью использовать более простое
описание через тензор малых деформаций.
Нужно еще добавить, что в задачах этой главы принято, что между
координатами материальной точки в исходном и деформированном состояниях
существует линейная связь. Это сделано, чтобы избежать ненужных
сложностей. Нужно отметить, что при достаточно малых объемах среды даже
для неоднородной деформации всегда можно принять такое линейное
соотношение. Для однородной же деформации это соотношение является вполне
общим.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СИМВОЛЫ
Тензорные обозначения. Повторяющийся (немой) индекс в любом выражении
означает суммирование по всем численным значениям, какие принимает этот
индекс. Так, выражение ауй/, где а; -координаты точки (/= 1, 2,3),
