Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
первых, вследствие того, что в уравнения (2), (3), (4) входят квадраты
синусов фаз и разностей фаз, последние определяются с точностью до знака;
во-вторых, имеется несколько различных наборов фаз, удовлетворяющих
опытным данным. Из них лучше других согласуется с экспериментом решение
Ферми, в котором наибольший вклад в рассеяние вносит фаза З^], проходящая
через 90° при энергии мезона Е^\§Ь Мэе в лабораторной системе координат,
а фазы 8/i, §1+, З'/l малы.
Имеется ряд дополнительных критериев, позволяющих устранить указанные
неоднозначности. Знаки фаз можно определить из соображений,
основывающихся на принципе причинности, а также из опытов, специально
учитывающих кулоновское взаимодействие. В выборе правильного решения
могли бы помочь опыты по поляризации нуклонов отдачи, но в настоящее
время они еще не поставлены. Ожидаемые величины поляризаций для реакций
(/?+, р+), (р~, р~), (р~, п°) определяются в следующей задаче.
27. Рассмотрим подробно реакцию (р+, р+). Пусть спиновые функции
протона:
Если вначале протон имел sz -1/2, то амплитуда рассеяния запишется в виде
Да ~ /ешИ Н" ( * )
и если вначале "s, = - 1/2, то амплитуда рассеяния
(2)
РАССЕЯНИЕ
265
Здесь - амплитуды рассеяния без переориентации
спина и /ар, /ра - с переориентацией спина. Амплитуды и /ар определяются
из формул (5) задачи 23 § 9 как коэф-
где а0, а,, ^ даны в задаче 26 § 9. Пользуясь выражениями для функций
Паули при nij = 1/г, легко получить:
Если считать, что тг-мезоны рассеиваются в плоскости xz, то полярный угол
ср = 0, и следовательно:
Тогда амплитуда рассеяния на протоне с sz = -1/2 (см. (2))
Так как вначале протоны не были поляризованы, то из формул (1) и (5)
следует, что и после рассеяния они останутся неполяризованными вдоль оси
z.
Можно показать, что после рассеяниия поляризация протонов в плоскости xz
отсутствует. Действительно, спиновые функции протона уо и 80,
соответствующие проекциям спина1^ и -Ч2 на ось г', проведенную в
плоскости xz под углом Й к оси z, имеют вид
(см. задачу 19 § 4),
фициенты при столбцах , причем берутся только S
и Р-волны
/_i/a - /р"а+ /*"?•
(5)
266 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Тогда /./, = Лаа ~Ь /аэР -
- (/"" cos 2 Лр sin 2") То +(/"" sin 2' + Лр cos "j) 80; /_1/2 = Лра +
ЛаР =
= - (/""siny + /,pCos-|) Te + (/Mcos-|- Лр sin4) 8|)'
т. е. поляризации в любом направлении в плоскости xz нет.
Однако протоны будут поляризованы вдоль оси у, перпендикулярной плоскости
рассеяния. Чтобы найти величину поляризации, выразим / и / через спиновые
собственные функции
а + 1? . р. _а - ^
У 2 У2 '
соответствующие направлению спина вдоль и против оси у. Тогда
/у, = уу (Ла г'Л[}) Т ~Ь у- (Ла + гЛ?) 8>
/-!/" = уу (Ла г'Лз) Т + уу(Ла + г'Л?) 8-
Отсюда получаем:
гс'+'Чл.-*лР12; ^_~1/"+^лР12. (6)
где и \J7_-вероятности того, что спин после рассеяния будет направлен
соответственно параллельно или антипараллельно оси у. Заметим, что
формулы (6) справедливы независимо от первоначального значения ss
протона. Подставляя в (6) выражения (3) и (4) для /аа и faV получим:
РАССЕЯНИЕ
267
Подобным же образом получим для реакций (р~, р~) и (Р~, "°):
W± (Р-, Р-) - | (в2в"3 + 2/iS"!) +
+ (2е2^_9 + 4/^ + е2^.+ 2в>И^)со8 в±
± / {ег^ + 2"* <8* - Иi8"*- _ 2е "Ц cos 0 Г;
W±(p~, "о) - | (в2 <во/* - в
. (_ 2 i53/2, " 2 tS1/* . 2 i53/J 2 гб1/2 0
-Hv2e 1 + -2е 1 + -|-е 1_- е 1 - ^cos 0 :
. .( 2 г5'Уа. 2го!,г 2 *?Уа . 2 г?'/2
rhile 1 + - е 1 + - е 1~-4-е 1_jsin
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Ряд задач квантовой механики решается в квазикласси-ческом приближении.
Но квазиклассическое решение справедливо лишь в области, достаточно
удаленной от точки поворота, которая определяется условием:
Так как квазиклассика дает решения лишь справа и слева
от точки поворота, необходимо "сшить" их в этой точке, чтобы получить
решение во всем пространстве.
Если потенциальная функция V(х) вблизи точки поворота ведет себя, как
показано на рис. 32, сшитое решение имеет вид
Для потенциальной функции V(х), показанной на рис. 33,
V(x) = E.
а
Рис. 32.
а
Рис. 33.
для х < а, (1)
для х > а. (2)
ПРИЛОЖЕНИЯ
269
решением будет
y^sin(ijРах+т) для *>а
->1 =
-т/
\ р \ dx
2Y\P\
для х < а
(П
(20
(см. Ландау и Лифшиц, Квантовая механика, Гостехиздат, 1948). Пользуясь
этим, найдем такое решение одномерного уравнения Шредингера
fi2 d2'b . ... . .
-Щ
которое слева от точки возврата (см. рис. 32) переходит в ква-
зиклассическое решение вида
! ±т/*'ь>
У?е
Для этого необходимо найти другое решение, линейно независимое по
отношению к указанному решению (1), (2). Будем искать его в виде
-= cos
У р
-i j" pdx-\-^\ для д: < а, (3)
И
п
¦ е а
р | dx
для х > а.
(4)
Для определения с воспользуемся тем, что для уравнения Шредингера
W--
'>i
= const.
Ь '>2
Напишем определитель Вронского для нашего случая,
270
ПРИЛОЖЕНИЯ
используя решения (1) и (3)
-^cos|ij pdx
w=
T^cosjijp^ + l); nf(tm)(j\pdx + i
a
(Дифференцирование достаточно производить по аргументам
тригонометрических функций, поскольку -1.)
