Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
г и V-
рассеяния через *i+ и rj
Дифференциальное сечение рассеяния с изменением поляризации dsj равно
dax
№
1 = 0
d Q,
а сечение da2 без изменения поляризации равно
da0
№
1
У21+ 1
dQ.
Когда относительная скорость частиц не велика, нужно принимать во
внимание рассеяния только S- и Р-волн
(IV-1если 1> ')•
В этом случае
dol яй ^ (tj^ - Tji ) sin2 " dQ,
da,
4?2 ^ _1_
" 4?2
| cos ft (2tj+ +7)^ - 1)-)- т)+ - 1 |2 dQ.
Из выражения для dcx видно, что частицы, изменившие ориентацию спина,
рассеиваются главным образом в направлении, перпендикулярном оси z.
19. Поскольку то можно применять квазиклас-
сические соображения. В ядро попадают все частицы с / ^ -
РАССЕЯНИЕ
253
следовательно,
'гй - О ^=1
Подставляя значение т|г в выражение для полных сечений
2 (2/ ¦+ 1) (1 - 1 Ч I2). ss = *Х2 2 (2/ + 1) | 1 - *], |2,
имеем:
1L
X
ar = as = тгХ 2 (2/ Ч- 1) ~ kR2.
ыо
Таким образом, полное сечение a = ar-|-as равно удвоенному
геометрическому сечению ядра.
20. Во всех трех случаях распределение изотропно.
21. Собственные функции оператора 1г для системы мезон - нуклон
записываются как всевозможные произведения функций ср и 6. При этом, ср
относится к различным зарядовым состояниям мезона (<р+, <р0, ор"), а ф -
нуклона (<Ьр, ф"). Всего таких функций будет шесть:
(.р+) = 'Р+Фр / =1 2 2 (Р°)=? 0% W (р-) = / = L 2 2
(л-|') = <р+ф,( (Я°) =- <?<)')п '.=-Т ("-) = 4-1
Здесь (р+) обозначает функцию системы, составленной из 7г+-мезона и
протона; (п+) - функцию, составленную из тс+-мезона и нейтрона и т. д.
Эти функции, вообще говоря, не являются собственными функциями оператора
квадрата полного изотопического спина системы Р.
Собственные функции Р, одновременно принадлежащие заданному /г, будут
линейными комбинациями из вышенаписан-ных функций, взятых с
коэффициентами Клебша - Жордана.
для I
для
of
254
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Коэффициенты Клебша - Жордана для т' = ±1/2 имеют вид (см. задачу 20 § 4)
1И' = 1
II + to|~ l/ ' + l/ •/_Л*+Т
Г 2/ + 1 Г 2/+1
/=у- 4 l/ '-^+ir |/ У + Af + i-
Г 2j + 1 f 2j + 1
В нашем случае М = Iz, j = 1, т' = тг.
Пользуясь этой таблицей, получаем собственные функции Ф^ операторов /2 и
lz:
= 0+)>
ф\ = ("-),
ф%.=--]/г 4 (/>-)+/" |("°)-
Отсюда легко выразить собственные функции системы мезон- нуклон через
собственные функции /2 и /г. Они оказываются равными:
(/?+) = Ф%, (я+) = -|/ЛуФ% + ]/Л4ф":,
(р°) = 1/^1 т(*°) = ]/"f ф-ч+]/"i ф-v. > о>-) = i/"t ф-'/"-/ т ф-1/=>
<я_) = ф-а/"*
§ 9] РАССЕЯНИЕ 255
22. Разложение падающей волны имеет вид
(Ji = ^ ^ 2 (тг - 8 (п - х3) =
Л1 sin (kr -
= /г(2/+ !)Рг(cos6) ^0Jo(u -^)В(д -тг) -^------=
z=o
оо sjn Ifef_
= 2/^22 C^/ У^+~Х Уго (^) --kr ' (1}
г=о i
где С*у - коэффициенты Клебша - Жордана, определяемые из таблицы
1 Тг - 2 1 Тг = 2
С1 ii-'i
cf Z ~V т-з Vi+'i
(2)
Здесь мы учли, чго (см. задачу 2i)
3 (тг - щ) 8 (п - тг) = ^ Ф* .
j Z Z
Введем функции Паули для m.j = ll2 (см. задачу 17 § 9):
/+i у
2/ + 1 J /О
у
21 + 1 J /1.
^ У"о( :;)
1 - 1
г,°(о)= w+т(Vl +1 rt + v'?Г)- <3)
256 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Подставляя (3) в (1), получаем:
г~ 03
' = Чг S 2il (VT+iYi + VlYi) X
г=о I
Xsin =
/~ 03
= Sc^+n'f + ^t'DX
!r=0 I
X cjM^(ettr -( - i)re-i4') =
_ CO
= т S 2 c;;*4 (vrr+ii',t + l/ri-D
г=а /
/- 03
- if ? 2 c?4 ^+v7r>) x
г-о i
, p- ikr
X(-iyi_. (4)
23. Воспользуемся разложением падающей волны по собственным функциям
сохраняющихся операторов (см. формулу (4) предыдущей задачи).
Каждый член этой суммы, соответствующий определенным значениям (/, J, /),
будет рассеиваться независимо от других.
Следовательно, число частиц, обладающих (/, ./, /), в процессе упругого
рассеяния не меняется, поэтому влияние рассеивающего центра сводится к
умножению на некоторый
фазовый множитель e2l'l±. Здесь of±=o|^ зависит
от /, У, / и не зависит от /2 вследствие гипотезы об изотопической
инвариантности.
Следует заметить, что рассеивающий центр не влияет на сходящиеся волны, а
влияет только на расходящиеся. Тогда волновая функция системы с учетом
рассеяния запишется
РАССЕЯНИЕ
257
в виде
_ со
¦~?22№х
I z=o
I 1=. о
На больших расстояниях от рассеивающего центра ее можно представить в
виде
gikr
V ^ Улад f - •
Здесь /-амплитуда рассеяния. Отсюда, вычитая из (1) выражение для фПад
(см. формулу (4) задачи 22 § 9), получим:
X Ф1!, [Vl+ 1 Уг (е2й*+ - l)+(в2*'*- - l)}- (2)
СО
I 1 = 0
Функции Ф/ разложим по собственным функциям оператора /г
Ч = 5 - к<)S </г - 8 В (и + х*>. (3)
где коэффициенты Клебша - Жордана Cfa определяются из таблицы (2) задачи
22, а кк = тн-1-2тг.
Подставляя (3) в (2), получим:
258
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
где
G'y-, = C\Z*CT~'Z
I z 'z
z z
и обозначает конечное состояние нуклона.
Тогда, полагая:
/ = - гч)Ъ(п - iz) +
+ /\ 8 (" - *к) В (п + 1г),
получим:
- 00 / / 7 \
•О=-w- h 2 °Tv l^r+Tr^ (*2is,+ - *) ¦+
т? j г=о г'г
+уТк,- (yiSt- - l)|. (4)
где G1'3, для требуемых в задаче реакций даны в следующей таблице:
Реакция 1- 1 + Р -+Р р /;0
81 -О '? 1 1 V'2
