Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
второй квант, а на уровне 2/2 - первый. Переставляя между собой уровни
(но не меняя их заполнения фотонами!), мы обнаружим, что каждое состояние
было сосчитано (gi - 1)! раз. Учтем теперь неразличимость квантов. Число
способов, которыми можно переставить кванты, равно гц !
Итак, число способов, которыми можно разместить щ квантов по gi уровням,
равно
(gi + Пг - 1)!
(gi - 1)! 71*!
Рассчитаем теперь число способов, которыми можно осуществить
распределение, при котором в первой энергетической области находится п\
фотонов, во второй - П2 фотонов, и т. д. Расстановка фотонов в разных
энергетических областях не зависит друг от друга. Поэтому полное число
способов Р равно произведению:
П( Qi щ 1)!
. (8Л2)
Как было уже указано, "истинным" распределением является то, которое
может быть достигнуто наибольшим числом способов, т. е. распределение,
при котором Р имеет максимум. При отыскании максимума следует помнить,
что полная энергия излучения определяется температурой стенок и должна
считаться заданной. В то же время число фотонов является свободным, так
как они непрерывно поглощаются и испускаются стенками1. Обозначая через
Ei среднюю энергию фотонов в г-й
Идеально зеркальные стенки не поглощают и не испускают фотонов. Однако
достаточ-
212
Глава 8
энергетической области, найдем, что максимум выражения (8.12) следует
искать при условии, что полная энергия излучения е задана:
= ЕгЩ = const. (8.13)
Итак, наша задача сводится к вычислению максимума функции (8.12) при
условии (8.13). Расчет показывает, что этот максимум достигается при
пг=9г-------тфш-------7' (8'14)
ехр(Ei/в) - 1
где в - некоторое число, смысл которого еще предстоит установить.
Выведем формулу (8.14). Находить максимум произведения сложно.
Существенно проще вычислять максимум функции S = In Р, являющейся суммой,
а не произведением членов, относящихся к отдельным уровням.
Применяя формулу Стирлинга
In п ! ^ п In п - п,
которая справедлива при больших гг, и пренебрегая в (8.12) единицей по
сравнению с большими числами дк и Пк, найдем
s = InP = ^[ln(^/e + Пк) ! - In Qk ! - In пк !]
/г
= ^2[(9к +пк)Ндк + пк) 9к Inдк -пк Inпк\.
к
Задача сводится к тому, чтобы найти максимум этого выражения при условии
F = ? - ^2 ЕкПк = 0. к
Используя метод неопределенных множителей Лагранжа для нахождения
условного экстремума функции многих переменных, найдем
dS+il/O) dF = 0,
где 0 - некоторый множитель (обозначение 1/0 введено здесь вместо
обычного лагранжева обозначения А).
но, чтобы стенки чуть-чуть "потускнели", чтобы такое взаимодействие
начало происходить и установилось тепловое равновесие между стенками и
излучением. Небольшое "потускнение" стенок не сказывается на расчете
числа фотонных состояний.
§40. Заполнение уровней
213
Вариация dS должна вычисляться при переменных Пк и постоянных gk,
поскольку число уровней задано, а заполнение их может меняться. Наше
уравнение примет при этом вид
ndm In(gi + щ) + g% n% dm - dm In m - dm - \Еч dni\ = 0, gi i m г
и J
Поскольку это равенство должно выполняться при любых dm, имеем
gi + т _ Ei
n т ~ Т'
Из этой формулы следует (8.14).
Выясним смысл постоянной в. Рассмотрим распределение квантов по очень
высоким уровням. При больших Ei уровни мало заселены, и при расчете числа
возможных распределений становится несущественным, являются ли кванты
различимыми или неразличимыми. Следует поэтому ожидать, что найденные
формулы перейдут в классические.
При больших Ei экспоненциальный член в знаменателе (8.14) становится
велик, и единицей можно пренебречь по сравнению с ним. Отношение rii/gi
равно вероятности заселения уровней с энергией Ei. Мы видим, что
вероятность заселения при больших Ei равна ехр(-Ei/0). Сравнивая это
выражение с формулой Максвелла (8.1), находим, что
в = кТ,
где к - постоянная Больцмана. Подставляя в = кТ в (8.14), найдем
окончательно
Ui=9i exp(Ei/kT)-l ^8'15^
Исследуем структуру полученной формулы. Первый множитель в правой части
равен числу уровней в рассматриваемом интервале. Значит, второй множитель
показывает, сколько фотонов - в среднем - находится на каждом уровне. Это
число равно
^фот -
ехр (Е/кТ) - 1
(8.16)
Формула (8.16) заменяет формулу Максвелла для электромагнитного
излучения.
214
Глава 8
Приведем формулу для других бозонов. Если масса частиц отлична от нуля,
то в дополнение к условию (8.13), задающему энергию частиц, появляется
еще одно условие - неизменность их числа. Решение задачи об отыскании
экстремума приводит в этом случае к формуле
^Бозе -
exp [(Е - ц) / кТ ] - 1
(8.17)
Формулы (8.16) и (8.17) определяют распределение Бозе -Эйнштейна.
Параметр ц носит название химического потенциала. Его величина
определяется по числу имеющихся частиц: заменяя второй множитель в (8.15)
на (8.17), получим очевидную формулу для определения /л:
exp \(Ei - /л)/кТ] - 1
(8.18)
Для фермионов (частиц с полуцелым спином) вместо (8.17) следует писать
____________________________
