Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гольдин Л.Л. -> "Квантовая физика. Водный курс" -> 80

Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.

Гольдин Л.Л., Новиков Г.И. Квантовая физика. Водный курс — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 496 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayafizikavvodniykurs2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 190 >> Следующая

уже отмечали, однако, эта формула неудобна для запоминания и не обладает
достаточной общностью. Покажем, как вычисляется д(Е) из общей формулы
(8.8):
g(E)dE = i^dE = %<^dE = (2 J + (l^)dE,
J dE dE dp v JdEdp V3 (2тгН)3'
или
(8.9)
Эта формула имеет простой физический смысл. Множитель Аттр2 dp равен
объему шарового слоя в импульсном пространстве. Умножение
этого объема на V дает величину фазового объема dY,
приходящегося
на интервал dp. Наконец, умножение на (2J + 1)/(2тг^г)3 дает искомое
число уровней. Формула (8.9) является общей. Для фотонов вместо 2J + + 1
следует подставить 2 и принять во внимание, что Е = рс, так что
д(Е) dE = Xе* dE (фотоны). (8.10)
irzc6h6
Для частиц, обладающих отличной от нуля массой, при не слишком больших
скоростях р = л/2гпЕ. Подставляя это выражение в (8.9), найдем
3/2
g(E)dE= (2J+l)-p----------vVEdE (8.11)
л/2ттН3
(нерелятивистские частицы с массой га).
Величина д(Е), определяемая формулами (8.9), (8.10) или (8.11), равна
числу уровней, приходящихся на единичный интервал энергии. Она называется
статистическим весом и играет огромную роль в физике. Статистический вес
всегда пропорционален объему, занятому частицами. Статистический вес
увеличивается с энергией и при малых энергиях стремится к нулю. При малых
энергиях уровни (квантовые состояния) расположены редко, а при больших
энергиях сближаются и в классическом пределе располагаются непрерывно.
Такое поведение статистического веса связано с трехмерным характером
рассматриваемой задачи - с множителем Аир2 dp в (8.9).
g{E)dE = (2 J + 1) dE.
к '(2ixhfdE
210
Глава 8
§40. Заполнение уровней. Распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака
Рассчитаем теперь число способов, которыми можно распределить имеющиеся
частицы по квантовым уровням. Как мы уже знаем, цель расчета заключается
в том, чтобы найти наиболее вероятное распределение частиц. Это
распределение и должно обнаруживаться на опыте. Разобьем энергетический
интервал на ряд следующих друг за другом областей с одинаковым шагом АЕ
между ними. Выберем размер шага небольшим, чтобы внутри каждой области
распределение частиц по уровням можно было считать равномерным. Потребуем
вместе с тем, чтобы ширина АЕ была велика по сравнению с расстоянием
между уровнями. Тогда в каждой области поместится много уровней и можно
будет применять статистический метод расчета к каждой области в
отдельности. Легко видеть, что при достаточно большом ящике (см. (8.9),
(8.10)) плотность уровней оказывается огромной и эти требования не
противоречат друг другу.
При расчете числа способов, которыми можно осуществить всякое данное
распределение, важно помнить, что частицы неотличимы друг от друга. Мы
уже об этом говорили. Состояние, в котором первая частица находится на
уровне 1, а вторая - на уровне 2, неотличимо от состояния, в котором на
уровне 1 находится вторая, а на уровне 2 - первая частица. При расчете
числа способов распределения частиц по уровням мы должны считать эти
размещения за одно, а не за два.
Дальнейшие расчеты будут проведены для фотонов, т. е. для частиц с целым
спином, на которые принцип Паули не распространяется. Формулу для
фермионов мы приведем без вывода.
Возьмем для расчетов один из выбранных выше энергетических, интервалов.
Присвоим ему индекс г. Пусть в этом интервале имеется gi и возможных
фотонных состояний и щ квантов. Число способов, которыми можно разместить
щ неразличимых между собой квантов при возможных состояниях, можно
вычислить с помощью обычных методов комбинаторики. Оно равно
(.д% + Щ - 1)!
(9г ~ 1) ! Щ ! '
Для вывода этой формулы применим следующий прием. Отделим уровень т/l от
остальных. Все остальные уровни и кванты будем считать равноправными
объектами, вначале не различая, где квант (г), а где уровень (у). Полное
число объектов будет равно гц + gi - 1. Выстроим все объекты в
произвольном порядке в одну линию справа от уровня у\. Пусть при этом,
например,
§40. Заполнение уровней
211
возникает комбинация
2/1, *8, *9, *27, 2/6, 2/14, "11, *28, 2/16, • • •
Придадим этой комбинации следующий смысл. Поместим все кванты на первый
находящийся слева от них уровень. В нашем случае восьмой, девятый и
двадцать седьмой кванты попадут на первый уровень, шестой уровень
окажется пустым, одиннадцатый и двадцать восьмой кванты попадут на
четырнадцатый уровень, и т. д. Теперь ясно, зачем первый уровень с самого
начала был исключен из рассмотрения и помещен в начало
последовательности. Если бы это не было сделано, первым мог оказаться не
уровень, а квант, который в этом случае остался бы без места.
Вычислим число возможных перестановок из (gi + Щ - 1) объектов. Как
известно, оно равно (gi щ - 1)! Учтем теперь, что каждое состояние было
сосчитано много раз. При нашем способе расчета расстановки 2/1*22/2*1 и
2/2*12/1*2, например, считались различными, хотя они тождественны даже с
точки зрения классической физики: в обоих случаях на уровне 2/1 находится
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 190 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed