Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
интереса.) Частота света связана с волновым числом известным соотношением
со = кс = c^Jk2 + Щ + к(8.3)
Выберем в качестве светового вектора электрический вектор волны Еэл. На
гранях зеркального ящика вектор Еэл должен обращаться в нуль. Выбор в
качестве тригонометрической функции синуса (а не косинуса) в разложении
(8.2) обеспечивает обращение Еэл в нуль на гранях х = 0, у = 0 и z = 0.
Чтобы Еэл обращалось в нуль на остальных гранях параллелепипеда, должны
быть выполнены условия кхА = П7Г, куВ = Ш7г, kzC = 1тг, или
кх = птг/А, ky = mir/B, kz = lir/C1
где п, ш, / - произвольные целые положительные числа2. Эти формулы
определяют квантование энергии фотонов, поскольку
Е = с|р| = cfc|k| = ch^kl + k2y + k2z. (8.4)
Рассчитаем число фотонных квантовых уровней в области, где энергия
фотонов меньше некоторого ^о- Для этого следует рассчитать число
^ак мы уже отмечали, световая волна и ^-функция фотонов на самом деле
различаются коэффициентом пропорциональности, что для дальнейших
рассуждений несущественно.
2При целых отрицательных числах гг, m, I не возникает новых решений,
поэтому их рассматривать не следует,
А х
Рис. 81. Зеркальный ящик, в который "заперто" излучение.
§39. Число квантовых состояний. Статистический вес
207
разрешенных наборов кх, ку, kz в области к < ко = Eq/cH. Как видно из
рис. 82, это число равно числу разрешенных точек, помещающихся в
положительном октанте сферы, описанной радиусом г = ко в пространстве, по
осям которого отложены кх, ку, kz. В этом пространстве разрешенные
состояния располагаются в виде точек, находящихся в углах
"кристаллической решетки" с шагами тг/А, тг/В и тг/С по трем осям.
Сечение этого пространства плоскостью kz = const изображено на рис. 83. В
такой "решетке" каждое разрешенное состояние (каждая точка на рис. 83)
принадлежит восьми ячейкам (четыре ячейки расположены под секущей
плоскостью и четыре - над ней), а каждая ячейка представляет собой
параллелепипед и содержит восемь разрешенных состояний, соответствующих
углам ячейки. Объем, приходящийся на каждый узел, равен, следовательно,
объему одной ячейки, т. е. (тг/А) (тг/В) (тг/С) = tt3/V, где V - объем
зеркального ящика. Чтобы найти число разрешенных состояний в октанте
сферы, следует разделить объем всего октанта на объем, приходящийся на
каждое разрешенное состояние. Полное число фотонных состояний будет на
самом деле вдвое больше указанного, так как во всяком разрешенном
состоянии возможны две независимые поляризации. Имеем поэтому
В этой формуле N(Eq) определяет число различных возможных фотонных
состояний с энергией, меньшей Eq.
(8.5)
к,
О-
7Г ЪГ 37Г
А А А
К
Рис. 82. К расчету числа состояний. Сфера в пространстве волновых чисел.
Рис. 83. К расчету числа состояний. "Разрешенные точки" на плоскости
волновых чисел.
Преобразуем формулу (8.5) к виду, удобному для запоминания. Перейдем от
волнового числа к импульсу р посредством обычного соот-
208
Глава 8
ношения р = kh. Рассмотрим шестимерный фазовый объем Г, по трем осям
которого отложены пространственные координаты, а по трем другим осям -
составляющие импульса фотона. Полный шестимерный объем равен произведению
объема в пространстве координат на объем (4/3)7фо в пространстве
импульсов (при р < ро)
Г = (4/3)тф[*у. Подставляя (8.6) в (8.5) и перейдя от ко к ро, найдем
N = 2-
(27тН)3
Формула (8.7) является частным случаем очень общей формулы
(8.6)
(8.7)
N = (2 J + 1)
(2тгН)3
позволяющей рассчитывать число разрешенных состояний любых частиц.
Множитель 2J + 1 (J - момент импульса) определяет число состояний, не
связанных с перемещением частицы в пространстве (число возможных проекций
спина). У фотона это число определяется числом возможных направлений
поляризации и равно 2.1
Обратимся теперь к множителю Г/(2тг^г)3. Этот множитель показывает, что
число состояний, зависящих от перемещения в пространстве, пропорционально
фазовому объему Г. Из структуры этого множителя ясно, что знаменатель
(2тгН)3 равен величине фазового объема, приходящегося на одно состояние.
Этот результат имеет фундаментальное значение. В плоских задачах вместо
(2тгН)3 следует писать (2тгН)2, а в одномерных - просто 2тгН. Таким
образом, на одно состояние для каждой координаты приходится фазовый
объем, равный 2тгН.
Величина фазового объема, приходящегося на каждую координату, 27ГЙ, с
точки зрения принципа неопределенности представляется вполне
естественной. Произведение неопределенностей координаты и импульса АхАр "
2ттН. Эта величина и определяет "место", занимаемое в фазовом объеме
каждым квантовым состоянием.
Рассчитаем теперь д(Е) - число уровней, приходящихся на единичный
интервал энергии. По определению, имеем
д(Е)АЕ = N(E + АЕ) - N(E) = АЕ.
1 Из-за "поперечности" световой волны проекция спина фотона может
принимать два, а не три значения и множитель 2J + 1 должен быть заменен
на 2.
§39. Число квантовых состояний. Статистический вес
209
Величина dN(E)/dE для фотонов легко может быть найдена из (8.5). Как мы
