Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
попадая в кулоновское поле протона, притягивается им и образует систему,
аналогичную атому водорода; так как радиус боровской орбиты обратно
пропорционален массе частицы, связанной с ядром (точнее говоря,
приведенной массе системы частица-ядро), то для мюона этот радиус
оказывается существенно меньшим, чем для электрона; на расстояниях, на
которых расположен электрон, захваченный мюон экранирует поле ядра, и
электрон покидает атом. Энергии уровней в мезоатомах рассчитываются по
(4.18) с учетом того, что в Ri входит масса мюона. Спектр излучения
мезоатома водорода хорошо известен и прекрасно описывается этой формулой.
Мезоатомные системы могут образовывать не только атомы водорода, но и
любые другие атомы. Так как мезон всегда располагается гораздо ближе к
ядру, чем электроны, поле атомных электронов практически не оказывает на
мезон никакого действия, и его энергия может рассчитываться так же, как
энергия единственного электрона в водородоподобных ионах, т. е. по
(4.18). Опыт показывает, однако, что эта формула справедлива только для
мезоатомов, в которых заряд ядра невелик (Z < 10). При больших Z радиус
орбиты оказывается столь мал, что мюон в существенной мере находится
внутри ядра, где поле уже не описывается потенциалом -Ze2jr. Отклонения
от (4.18) используются для определения радиусов ядер тяжелых атомов.
Мюонами называют частицы с массой, в 207 раз превышающей массу электрона:
=
= 207те. В остальном свойства мюонов очень похожи на свойства электронов,
в частности, ни те ни другие не способны к ядерным взаимодействиям, так
что на них действуют только электрические силы (и силы так называемого
"слабого" взаимодействия). Существуют положительные мюоны = +1е) и
отрицательные мюоны {q^~ = -1е).
Более подробно об этих частицах см. гл. 16.
§ 17. Ширина уровней
93
§ 17. Ширина уровней
При решении уравнения Шредингера для потенциальной ямы и для атома
водорода (и во всех других случаях, когда энергия квантуется) мы нашли,
что энергия системы может принимать значения, выражающиеся набором
дискретных, вполне точно определенных чисел. Этот результат, означающий,
что энергетические уровни атомов не имеют ширины, не соответствует истине
и возникает из-за того, что при написании уравнения Шредингера были
сделаны некоторые упрощения.
Рассмотрим атом, находящийся в возбужденном состоянии. Такой атом может
испустить фотон и перейти в основное или менее возбужденное состояние.
Точное уравнение Шредингера должно учитывать эту возможность, возникающую
из-за взаимодействия атома с электромагнитным полем - полем, имевшимся до
излучения или возникающим в процессе излучения. Учет этого взаимодействия
и приводит к появлению "ширины" у энергетических уровней.
Теоретический анализ взаимодействия атомного электрона с излучением
вполне возможен, но лежит далеко за пределами нашего курса, в котором мы
ограничиваемся исследованием только стационарных - не зависящих от
времени - состояний. От квантовомеханического подхода к исследованию
ширины уровней нам придется поэтому отказаться. Подойдем к этому вопросу
с несколько другой стороны.
Из оптики известно, что световое излучение происходит в виде волновых
"цугов", имеющих обычно длину порядка нескольких метров. Цуг конечной
длины не может быть вполне монохроматичным и всегда несколько "размазан"
по частоте. Соответствующий квант, следовательно, содержит некоторую
неопределенность в энергии. Рис. 36. Волновой цуг.
Эта неопределенность может возникнуть только в том случае, если энергия
возбужденных уровней определена не вполне точно, т. е. если уровни имеют
некоторую "естественную ширину".
Оценим неопределенность энергии кванта. Рассмотрим волновой цуг,
испускаемый в течение промежутка времени г, движущийся со скоростью с и
представляющий собой отрезок точной синусоиды с частотой Q (рис. 36).
Чтобы найти спектральный состав излучения, описывающего цуг, следует
произвести его разложение в интеграл Фурье. Введем функцию Ф(?),
описывающую световую волну, изображающуюся
Re Ф(0 АЛЛА, МАЛ
-г/2 vvvv т , т/2 t
94
Глава 4
цугом:
Ф(?) = 0 при t < -т/2, t > т/2,
Ф(?) = Аехр(гШ) при - т/2 < t < т/2,
и разложим ее в интеграл Фурье:
оо
Ф(?) = ^ J f(co) exjp(icut) dco;
- оо
по известной теореме об интеграле Фурье
оо
f(co) = J Ф(?) ехр(-icot) dt.
- оо
Замечая, что вне интервала (-т/2, +т/2) волновой цуг отсутствует, имеем
т/2
f(co) = J Аехр(гШ) ехр(-zcjt) dt =
-т/2
exp[z(Q - cj)t/2] - ехр[-г(0 - а;)т/2] sin[(fi - а;)т/2]
г(0 - со) (Q - ио)т/2
При малых (?} - и) эта функция принимает наибольшее возможное значение
Ат, а с увеличением (?} - а;) функция колеблется, быстро уменьшаясь по
амплитуде. Для оценки ширины распределения, как обычно, выберем
расстояние от максимума до первого минимума, Первый минимум возникает при
(?} - си)т = 2тг, т. е. при А си = Q - си = 27г/т. Умножая это равенство
на т, найдем
Acjt = 2тг (4.30)
Входящее в это равенство время т равно времени испускания световой волны.
