Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гольдин Л.Л. -> "Квантовая физика. Водный курс" -> 32

Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.

Гольдин Л.Л., Новиков Г.И. Квантовая физика. Водный курс — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 496 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayafizikavvodniykurs2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 190 >> Следующая

Подставив п = 1 в (4.17), находим, что к\ = (3/2. Примем для простоты а\
= 1 -1 Подставив п = 1 в (4.14), убеждаемся, что все члены ряда (4.11),
начиная с аг, обращаются в нуль; первый же член ряда оказывается равным
г.
Воспользовавшись соотношениями (4.6) и (4.9), получаем
где - комптоновская длина волны электрона, а - постоянная тонкой
структуры. Итак, ^-функция основного состояния является экспонентой с
максимумом в начале координат (рис. 34).
С точки зрения классической физики электрон обладает наименьшей энергией,
находясь в начале координат. Квантовая механика, как мы видим, приводит к
непрерывному распределению с максимумом в начале
оо
ф(г) = Укг ?
771=1
ф1(г)=е~к1Г
(4.25)
Здесь
гу ТПС 6 __ ry OL
самом деле значение а\ находится из условия нормировки
J \ip\2dv = 1.
90
Глава 4
координат. Однако из (4.25) не следует, что вероятность найти электрон на
нулевом расстоянии от начала координат является максимальной. Вероятность
того, что электрон находится в объеме dV, как мы зна-
I 12
ем, равна ^(r) dV. В качестве элемента объема возьмем сферический слой
толщиной dr на расстоянии г от начала координат: dV = 47тг2 dr.
Вероятность найти электрон в шаровом слое, находящемся на расстоянии г от
ядра, при п = 1 равна 4тг dr\ipi (г) \ 2 т. е. определяется функцией
r2|'0i(r)|2 = r2e-2/eir; график этой функции также изображен на рис. 34.
Функция r2|^i(r)|2, определяющая пространственное распределение электрона
в невозбужденном атоме водорода, обращается в нуль вместе с г2 в начале
координат и экспоненциально убывает при больших г. Найдем значение Г =
Гlmax При КОТОрОМ ЭТа фуНКЦИЯ ДОСТИ-гает максимума. Для этого приравняем
нулю производную от r2e2klT:
2rimaxe"2feinm" - 2/c1rfmaxe"2feinm" = 0. После сокращения получаем
Г1шах = к[ = ft = Z~(r) ' ('4'26'1
Для водорода
^lmax = ^е/^- (4.27)
Величину (4.27) принято называть радиусом первой боров-с к о й
орбиты атома водорода. В действительности никаких орбит
у электронов в атомах, конечно, не существует; название
же это, как
и некоторые другие, перешло в современную физику из полуклассиче-ской
теории Бора строения атома1. Вычислим rimax:
Гlmax = = (3, 86 • 10-11 см) • 137 " 0, 53 • 10-8 см;
гimax определяет по порядку величины размер невозбужденных атомов
водорода и обозначается обычно а\.
Рис. 34. Пространственное распределение электрона в атоме водорода
(основное состояние).
1 Более подробно теория Бора рассмотрена в § 28.
§ 15. Распределение электронной плотности в атоме водорода 91
Рассмотрим волновую функцию для первого возбужденного состояния атома
водорода (п = 2). При п = 2 кч = /3/4; ряд (4.11) обрывается на втором
члене, и волновая функция имеет следующий вид:
ф2(г) = е~к2Г(1 - к2г). (4.28)
На рис. 35 изображены функции -02 (0 > |^2(^)|2 и г2|^2(г)|2; последняя
функция, как мы видели, характеризует вероятность найти электрон на
расстоянии г от ядра. Из рисунка видно, что распределение электронной
плотности при п = 2 оказывается довольно сложным. Еще более сложными
являются распределения электронов в следующих возбужденных состояниях.
Общим свойством всех распределений является отличная от нуля вероятность
найти электрон как на очень малых, так и на довольно больших расстояниях
от ядра.
В заключение еще раз подчеркнем, что пространственное распределение
электронов в атоме можно характеризовать либо квадратом
I 12
волновой функции \ф(г)\ , либо величиной г2\ф(г)\2. Первое из этих
выражений определяет вероятность найти частицу в единичном объеме, а
второе - в шаровом слое
толщиной 1/47Г. Величина |^(г)|2 в основном состоянии атома водорода в
начале координат максимальна,
в то время как г2|^(г)| обращается в нуль. Функция ф(г) при удалении от
начала координат убывает с отличной от нуля производной. Таким образом,
ф(г) не является гладкой в начале координат. Этого следовало ожидать.
Потенциальная энергия точечного источника обращается в бесконечность в
начале координат, а при обращении потенциальной энергии в бесконечность,
как было показано в § 9, ^-функция приобретает излом.
В заключение приведем оценочную формулу, с помощью которой можно быстро
(хотя и грубо) находить "радиус орбиты" R, т. е. среднее расстояние
электрона от ядра в водородоподобных атомах. При главном
Рис. 35. Пространственное распределение электрона в атоме водорода при п
= 2.
92
Глава 4
квантовом числе п л л-
(4.29)
§ 16. Мезоатомы
Решения, полученные для водородоподобных атомов, могут быть применены к
системам, называемым мезоатомами. Мезоатомами называют атомы, в которых
один из электронов заменен мезоном. Разумеется, такая замена возможна
только, если мезон имеет отрицательный заряд.
Рассмотрим мезоатомы, которые получаются при замене единственного
электрона в атоме водорода отрицательным мюоном1 ц~. Пропуская пучок
отрицательных мюонов через водород, можно получить мезоатомы водорода.
Образование мезоатомов происходит следующим образом: отрицательный мюон,
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 190 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed