Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
вокруг их общего центра масс. Как известно из классической механики, в
уравнение движения в таких случаях вместо масс взаимодействующих тел
входит приведенная масса fi обеих частиц. Этот вывод сохраняется и в
квантовой механике. В нашем случае
где т - масса электрона, Мяд - масса ядра.
Из (4.23) видно, что ц = т только при условии, что Мяд = оо.
Следовательно, при расчете мы получили значение постоянной Ридберга не
для реального, а для некоторого мысленного бесконечно тяжелого ядра: Roq
= 109 737, 3 см-1. Воспользовавшись числовым значением Roo,
но (4.22') и (4.19)
§ 14. Спектры водородоподобных атомов
87
легко получить величину R для любого конкретного ядра. В частности, для
водорода га/Мяд = 1/1836,1 и
Rh =
Ro
1 + 1/1836,1
= 109 677,6 см
-1
(4.24)
Таблица 1. Теоретические и экспериментальные значения Л для трех первых
линий серии Бальмера
Превосходное согласие вычисленного из теории значения Rh и значения R,
полученного для водорода экспериментально, является блестящим
подтверждением правильности применения квантовомеханических представлении
к атомам.
В табл. 1 приведены АЭКсп и АТеор, вычисленные по формуле (4.22) с учетом
(4.24) для первых трех линий серии Бальмера1.
Изотопический сдвиг. Кроме легкого изотопа водорода 1Н, существуют два
тяжелых изотопа водорода: дейтерий 2D и тритий 3Т.
Ядро дейтерия, кроме протона, содержит один нейтрон, а ядро трития - два
нейтрона. Спектры тяжелых изотопов водорода описываются, конечно, той же
формулой (4.22), но в качестве R следует брать Rd для дейтерия и Rj для
трития. Расчет по формуле (4.24) дает
Линия Аэксп" НМ Атеор" НМ
На 656,28 656,47
Нр 486,13 486,27
я7 434,05 434,17
Rd = 109 707,4 см
-1
RT = 109 717,5 см
-1
Различие Дн, и Rj приводит к различию длин волн одних и тех же линий в
спектрах различных изотопов водорода.
Ниже приведены для сравнения длины волн первых трех линий серии Лаймана в
спектрах водорода и дейтерия.
Ан, нм Ad, нм АА, нм
121,566 121,533 0,033
102,572 102,544 0,028
97,253 97,227 0,026
Еще большее различие наблюдается в спектрах водорода и дейтерия для длин
волн серии Бальмера. Например, линии На и Da различаются на 0,17 нм.
1Еще лучшее согласие с опытом получается при расчете с помощью Уравнения
Дирака, учитывающего релятивистские эффекты.
88
Глава 4
Различие в длинах волн идентичных линий в спектрах различных изотопов
одного и того же элемента называется изотопическим сдвигом. Изотопический
сдвиг в спектрах водорода и дейтерия настолько велик, что отчетливо
обнаруживается с помощью обычных спектральных приборов.
Водородоподобные ионы. Напишем спектральную формулу для однократно
ионизованного атома гелия 2Не+:
Эта формула, так же как и формула для спектральных серий водорода, была
найдена эмпирическим путем и получила объяснение только в квантовой
теории.
Аналогичным образом могут быть написаны спектральные формулы для ионов
3Li2+, 4Ве3+ и др. Первые члены серии Лаймана (п\ = 1) для этих ионов
обнаружены; они находятся в далекой ультрафиолетовой части спектра.
Позитроний. Интересной системой, состоящей, как и атом водорода, всего из
двух частиц, является позитроний. Позитроний содержит две частицы,
отличающиеся только зарядом: положительно заряженный позитрон и
отрицательно заряженный электрон. При пропускании позитронов через газ
позитроны захватывают электроны атомов, в результате чего и образуются
"атомы" позитрония. В отличие от атомов водорода, "атомы" позитрония
являются метастабильными и через довольно короткое время г после
образования прекращают свое существование1. Однако время существования
"атомов" позитрония достаточно для их изучения. Измерение энергии
ионизации позитрония показало, что она равна 6,8 эВ.
Энергия ионизации равна взятой с обратным знаком энергии основного
состояния и может быть вычислена по формуле (4.18) при т = fi и п = 1.
Так как массы электрона и позитрона равны, то приведенная масса /±, равна
половине массы электрона:
Позитроний может образовываться в двух состояниях: с направленными в одну
сторону (ортопозитроний) или противоположно направленными спинами
позитрона и электрона (парапозитроний). Эти состояния имеют разные моды
распада, соответственно, на три и на два фотона и разные времена жизни
1,4 • 10"10 и 1,2 • 10-7 сек. Суммарная энергия фотонов равна 2тес2.
^эл^поз тэл
тэл + т}
'ЭЛ Н- ^ПОЗ 2
§15. Распределение электронной плотности в атоме водорода
89
Поэтому по формуле (4.18) для позитрония получаем Еит = R±/2 = 13, 6/2 =
6, 8 эВ.
§ 15. Распределение электронной плотности в атоме водорода
Распределение электронной плотности в атоме водорода определяется
квадратом модуля ^-функции. Вычислением ^-функции мы занимались в § 12.
Объединяя (4.6), (4.9) и (4.11), найдем
Для вычисления аш следует применить рекуррентную формулу (4.14). Входящий
в нее параметр (3 определяется (4.5). Возможные значения к находятся по
формуле (4.17).
Найдем ^-функцию для п = 1, т. е. для основного состояния атома.
