Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гольдин Л.Л. -> "Квантовая физика. Водный курс" -> 27

Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.

Гольдин Л.Л., Новиков Г.И. Квантовая физика. Водный курс — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 496 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayafizikavvodniykurs2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 190 >> Следующая

объяснялось в предыдущем параграфе, связано с тем, что она должна быть
непрерывной и гладкой везде, в том числе и у точек "поворота".
Применим полученные выводы к колебаниям молекул. Молекулы состоят из
связанных между собой атомов. Связь осуществляется внешними (валептными)
электронами атомов; внутренние электроны, расположенные наиболее близко к
ядрам атомов, в образовании молекул не участвуют.
Мы не будем здесь рассматривать природу химических сил, объединяющих
атомы в молекулы. Этот вопрос будет подробно обсуждаться в гл. 11.
Ограничимся хорошо известным из опыта утверждением, что при равновесии
входящие в состав молекулы атомы находятся на таком расстоянии друг от
друга, при котором силы притяжения и отталкивания уравновешивают друг
друга и потенциальная энергия минимальна. При сближении или удалении
атомов энергия возрастает по параболическому - в первом приближении -
закону.
Входящие в состав молекулы атомы могут колебаться друг относительно
друга. При малых колебаниях молекулы ведут себя почти как идеальные
гармонические осцилляторы, так что нижние колебательные уровни
эквидистантны.
Наличие дискретных колебательных уровней у молекул приводит к появлению в
молекулярных спектрах линий, связанных с переходами между этими уровнями.
Мы уже отмечали, что правила отбора разрешают переходы только между
соседними колебательными уровнями и, таким образом, весь колебательный
спектр слабо возбужденной моле-
74
Глава 3
кулы должен состоять всего из одной линии1. Так как расстояния между
колебательными уровнями сравнительно невелики (0,1 - 1 эВ), то такие
линии обнаруживаются в инфракрасных спектрах поглощения молекул (А = 0, 5
- 5 мкм).
К спектрам молекул, в том числе и к колебательному, мы вернемся в гл. 5,
после того как познакомимся с вращательными уровнями молекул.
!При больших амплитудах колебаний (соответствующих высоким уровням)
отличие закона изменения потенциальной энергии от параболического
(энгармонизм) становится все более заметным. Сделанные выше выводы при
этом перестают быть точными.
Глава 4
ВОДОРОДОПОДОБНЫЕ АТОМЫ
Простейшими атомными системами являются атом водорода и водородоподобные
атомы, т. е. такие атомы, у которых в поле ядра находится только один
электрон. К водородоподобным атомам относятся однократно ионизированный
атом гелия Не+ с зарядовым числом Z = 2, двукратно ионизированный атом
лития Li2+ с Z = 3 и т. д.
§ 12. Энергетические уровни водородоподобных атомов
Потенциальная энергия водородоподобного атома равна
ад =
потенциальная кривая изображена на рис. 28.
Уравнение Шредингера для электрона в атоме (Е < 0) имеет вид
-?-Аф-^ф = Еф, (4.2)
где т - масса электрона. Физический смысл, как всегда, имеют лишь
однозначные, конечные, непрерывные и гладкие решения этого уравнения.
Выражение (4.1) сферически-симметрич-но. Поэтому целесообразно решать
уравнение (4.2) в сферических координатах г, ср (рис. 18). В общем случае
волновая функция является функцией трех координат: ф =
= ф(г, ф). Мы ограничимся, однако, исследованием сферически-симметричных
решений, т. е. решений, не зависящих от углов i9 и (р. При этом, конечно,
большое количество решений будет потеряно. К ним мы вернемся несколько
позже.
Рис. 28. Потенциальная энергия в водородоподобных атомах.
76 Глава 4
Воспользуемся выражением оператора Лапласа в сферических координатах,
когда ф зависит только от г:1
Д -1 I 21 (4 3Ч
r~dr2+rdr¦ (4-^
Подставим (4.3) в уравнение Шредингера (4.2):
П2 (<Рф 2dip\ Ze2 , р.
Обозначив d^/dr = ф' и d2i^/dr2 = ф", получаем
ф" + ^ф' + уф = к2ф, (4.4)
где
(3 = 2mZe2/Н2, А:2 = -2 тЕ/Н2. (4.5)
Чтобы упростить это уравнение, произведем замену переменных. Положим
Ф(г) = (4.6)
Тогда
Подставляя эти выражения в (4.4), получим уравнение Шредингера в виде
u" + f3^=k2u. (4.7)
Исследуем это уравнение. Прежде всего изучим поведение функции и (г) на
бесконечности. При г -> оо членом ((3/г)и можно пренебречь по сравнению с
к2и. Поэтому при больших г вместо (4.7) получим
иж = к2иж.
Решение этого уравнения имеет вид
Uoo = Ае~кг + Векг,
1 Вывод выражения (4.3) приведен в Приложении II.
§ 12. Энергетические уровни водородоподобных атомов 77
где А и В - некоторые константы. Функция Uqq, остается ограниченной в
бесконечно удаленной точке лишь в том случае, если В = 0. Следовательно,
и00=Ае~кг. (4.8)
Функция (4.8) не является решением уравнения (4.7), но
правильно
отражает поведение этого решения на бесконечности. Поэтому будем искать
решение уравнения (4.7) в виде
и = e~krf(r). (4.9)
Поскольку поведение и(г) при больших г правильно описывается функцией
е~кг, функция /(г) при г -> оо должна изменяться медленнее, чем
экспонента.
Найдем производные от и:
и' = -ke~krf + fe~kr, и" = k2e~krf - 2ke~krf + f"e~kr.
Подставим эти выражения и (4.9) в (4.7); после приведения подобных членов
получим
/" - 2kf + ?/ = 0. (4.10)
Решение этого уравнения будем искать в виде степенного ряда
оо
/(г) = ? атгт. (4.11)
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 190 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed