Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
использовали переход к пределу в неявном виде при
замене ф(х') на ф(х).
Эта замена при любом конечном N является приблизительно
правильной,
а при N -> оо оказывается точной. Подставляя (7) в (2), найдем
окончательно
(Рт) = Jip*(x)(-ihj^)^(x)dx, что и требовалось доказать.
II. Радиальная часть оператора Лапласа
Покажем, что оператор Лапласа в сферических координатах для случая, когда
функция зависит только от г, выражается формулой (4.3).
В декартовых координатах оператор Лапласа имеет следующий вид:
Перейдем от производных по х, у, z к производным по г. Учтем, что
2 2,2,2 /п\
г = х + у -\- z . (9)
Дифференцируя это равенство, получаем
дг/дх = х/r, дг/ду = у/г, dr /dz = z/г.
Заменим первые производные по ж, у, г производной по г:
д _ дг_ д_ _ х в_ д_ _ У_ _d_ _д_ _ z d
дх дх dr r dr' ду r dr' dz r dr'
480
Приложения
Найдем вторые производные
д2 _ _д_( х d \ _ 1 _d_____х dr d , х dr d2 _
dx2 dx\r dr J r dr r2 dx dr r dx dr2
1 _d____x2 d i x2 d2 /iq\
r dr r3 dr r2 dr2'
Аналогично
= IA _ y^_A , no'i
dy2 r dr r3 dr r2 dr2'
d2 _ 1 _d_z2 d . z2 (i2 HO''')
dz2~rdr r3dr^r2dr2' K }
Суммируя (10), (10') и (10") с учетом (9), находим
ax2 dy2 dz2 r dr rdr^ dr2 dr2 + r dr ¦ \ >
Таким образом, мы получили выражение (4.3):
д - ^2 . 2 d
~ dr2 r drill. Уравнения движения связанных маятников
Покажем, что в формулах (12.2) дополнительные члены ах и ау должны иметь
одинаковые коэффициенты а.
Будем характеризовать отклонение первого маятника координатой х, а
отклонение второго маятника - координатой у.
Силы, действующие на маятники, описываются потенциальной энергией,
зависящей, вообще говоря, от координат обоих маятников, так что
потенциальная энергия системы U = U(x, у). Разложим U в ряд по ж и у. Для
малых колебаний достаточно ограничиться членами до второго порядка
включительно:
U(x, у) = U(xо, уо) + (g)o* + (§^)ог/+
О \ ду j о '
i27V\ о / Я2 Г
Производные (8U/дх)о, ..., (d2U/dy2)o берутся в точке жо, уо и являются
числами.
Приложения
481
Сила, действующая на каждый из маятников, равна взятой с обратным знаком
производной потенциальной энергии по соответствующей координате:
(13)
Примем за точку разложения положение равновесия маятников. В точке хо = =
уо = 0 силы должны обратиться в нуль. Имеем поэтому
(,ди/дх)0 = (dU/dy) о = 0. (14)
Уравнения движения маятников получим, подставляя (13) во второй закон
Ньютона. С учетом (14) получим
(d2U\ ( d2U \
miX = -^)oX-id^)oy'
(15)
2 7Т \ / Д2 т
(д U\ ( d2U \
т2У = -^)оУ-(д^-у)оХ-
При "выключении" связи между маятниками силы, зависящие от координаты
"другого" маятника, обращаются в нуль и вторые члены в правых частях
уравнений (15) исчезают. Видно поэтому, что у одинаковых маятников не
только т\ = = ГП2, но и
(д2и/дх2)0 = (д2и/ду2)0. (16)
Обозначим эти производные через ти2. Деля выражение (15) на т и
перенося
все члены в левую часть равенства, найдем
-I 2 I 1 ( d2U \ _ п
Х + Ш Х+ т\?Ь&у)оУ ~ '
(17)
, 2 . 1 ( d2U \ _ п
у + ш v+(tm)\d^,)ox-Q-
Формулы (17) совпадают с (12.2). Легко видеть, что члены, зависящие от
координат "другого" маятника, имеют одинаковые коэффициенты, обозначенные
в уравнениях (12.2) буквой а.
482 Приложения
IV. Основные физические константы
Наименование Обозначение В гауссовой системе единиц В СИ
Скорость света Постоянная Планка Элементарный заряд Масса электрона
Энергия покоя электрона Масса протона Энергия покоя протона Постоянная
Авогадро Постоянная тонкой структуры Комптоновская длина волны электрона
Энергия Ридберга Постоянная Ридберга Магнетон Бора Ядерный магнетон
Постоянная Больцмана Постоянная Стефана -Больцмана с к е гпе тес2 тр
ТПрС2 NA е2 а~ Пс = тпес Ri = m14 2ft2 _ mee4 Jt°o - о АттН с eh ^в 2 mec
eh fJ'N = о АГПрС к 7V2k4 60 ft3 с2 2, 997924 6-1010 см/с 6, 58212-
10-16 эВ-с 4, 803 20-10"10 СГСЭ, 9,1094-10-28 г 0.510 999 МэВ 1, 672
62-10- 24 г 938, 272 МэВ 1/137, 036 0 3, 86159-10-11 см 13,605 69 эВ
1, 097373-105 см"1 5,788 381 х х10_9эВ/Гс 3,152451 х 10-12 эВ/Гс 1,380
65-10-16 эрг/К 5,670-Ю-5 эрг/с-см2-К4 2,997 924 6 • 10(r) м/с 1,054 57х
х10_34Дж-с 1,602 18-10-19 Кл 9,109 4-10-31 кг 1,672 62-10-27 кг 6,022 14-
1023 моль-1 3,861 59-10-13 м 1,097 373-107 м"1 5,788 381 х х10_5эВ/Тл
ЗД52451Х х 10-8 эВ/Тл 1,380 65х хЮ-23 Дж/К 5,670-10_8Вт/м2-К4
Приложения
483
V. Названия, символы и атомные массы химических элементов. (Скобкой
отмечены радиоактивные элементы)
1 Водород Н 1,00794 57 Лантан La 138,9055
2 Гелий Не 4,00260 58 Церий Се 140,12
3 Литий Li 6,941 59 Празеодим Рг 140,9077
4 Бериллий Be 9,01218 60 Неодим Nd 144,24
5 Бор В 10,81 61 Прометий Pm [144,91]
6 Углерод С 12,011 62 Самарий Sm 150,36
7 Азот N 14,0067 63 Европий Eu 151,96
8 Кислород О 15,9994 64 Гадолиний Gd 157,25
9 Фтор F 18,998403 65 Тербий Tb 158,92
10 Неон Ne 20,179 66 Диспрозий Dy 162,50
11 Натрий Na 22,98977 67 Гольмий Ho 164,930
12 Магний Mg 24,305 68 Эрбий Er 167,26
13 Алюминий А1 26,98154 69 Тулий Tm 168,934
14 Кремний Si 28,0855 70 Иттербий Yb 173,04
