Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(14.16) называется законом радиоактивного распада в диференциальной
форме. После интегрирования получается закон радиоактивного распада в
интегральной форме:
N(t) = No ехр(-At),
(14.17)
374
Глава 14
где Nq - число радиоактивных ядер в начальный момент времени, a N(t) - их
число к моменту времени t.
Скорость распада А = dN(t)/dt = AN(t) называется активностью образца.
Единицами активности являются беккерель (Бк) и кюри (Ки). 1 Бк = 1
расп/с, 1 Ки = 3,7• Ю10 Бк (активностью А = 1 Ки обладает 1 г очищенного
от примесей изотопа радия ||6Ra).
Введем еще две характеристики радиоактивных ядер: среднее время жизни
ядра г и период полураспада Ti/2. В соответствии с определением
математического ожидания, среднее время жизни ядра вычисляется по
формуле:
оо
т = J t ехр(-Xt) dt = 1/А. (14.18)
о
Из формул (14.17) и (14.18) следует, что г - это время, за которое число
радиоактивных ядер уменьшается в е раз. Периодом полураспада Ti/2
называется время, в течение которого распадается половина исходных ядер
(рис. 153). Из формулы (14.17) получаем:
N/2 = Nq ехр(-AXi/2), откуда Тх/2 = In 2/А = In 2 • г. (14.19)
Дочерние ядра часто сами оказываются радиоактивными. В этих случаях мы
имеем дело с радиоактивными рядами, связывающими большое число ядер, или
с радиоактивными цепочками из небольшого числа звеньев:
А! ^ Лз ^
Закон радиоактивного распада (14.17) во всех таких случаях пригоден
только для расчета количества ядер первого сорта в цепочке. Число ядер
второго сорта Л^(?) зависит и от скорости образования этих ядер, и от
скорости их распада. Поэтому для получения формулы для расчета Л^(?)
нужно составить систему из двух диференциальных уравнений:
dN1/dt = -X1N1, (14.16')
Рис. 153. Зависимость N(t) от t.
dN2/dt = -\-\iNi - X2N2-
(14.20)
§75. Спонтанные превращения атомных ядер
375
В результате интегрирования системы (при условии, что в начальный момент
времени Ni = N01, а N2 = 0) для Л^(?) получаем выражение:
N2(t) = Л Л\ A^oi (e~Xlt - e~X2t) . (14.21)
Л2 - Ai V /
Активности каждого из изотопов равны:
A^t) = AiiVi(i) = AiiV0ie-Alt. (14.22)
A2(t) = A2N2(t) = x^2XiNoi (e"Alt - e"A2t) . (14.23)
Очевидно, что цепочки из двух звеньев могут долго существовать только в
тех случаях, когда период полураспада первого изотопа (T1/2)i достаточно
велик и Ai " Л2. В этих случаях между активностями первого и второго
изотопов наступает равновесие. Покажем это. При Ai <С А2 для Л^2(?)
получаем:
N2(t)=j-N0i (e"Al*-o) , отсюда \2N2{t) = Ai7V0ie"Alt, или A2(t) = Аф).
(14.24)
Состояние равновесия наступает через некоторое время ?макс, в течение
которого идет накопление ядер А^2(?) и активности А2(?) в образце (рис.
154). Оно сохраняется во все последующие моменты времени.
Для получения формулы для расчета Ns(t) к системе уравнений (14.16') и
(14.20) необходимо добавить третье уравнение для скорости изменения числа
ядер сорта Аз, и т.д.
Рис. 154. I - Зависимость Ni и N2 от t. II - Зависимость А\ и А2 от t.
Альфа-распад. Схема а-распада была приведена в начале параграфа.
Воспользуемся законом сохранения полной энергии и составим
376
Глава 14
формулу для расчета энергии распада Qa:
Qa(МэВ) = 931,5 (МэВ/а.е.м.){Мат(йХ)-[Мат(Й12У) + Мат(^Не)]} (а.е.м.).
(14.25)
(Вместо масс ядер в формулу введены табличные значения масс атомов; массы
атомных электронов, как это видно из формулы, не оказывают влияния на
значение Qa).
Энергия распада выделяется в виде кинетической энергии o'-частицы и
дочернего ядра:
Qa = Та -Ь Т'д.я..
Из закона сохранения импульса следует, что большая часть энергии
приходится на долю а-частиц. Если А - массовое число материнского ядра,
то: .
Ta = Qajfl- (14.26)
Расчеты показывают, что для тяжелых ядер с массовыми числами А > 130 Qa >
0 и, казалось бы, все изотопы с А > 130 должны испытывать а-распад. Из
опыта известно, однако, что в области ядер с А & 140 150 есть
только небольшая группа a-активных изотопов:
^4Nd(84), 527Sni(85) и др. У всех этих изотопов число нейтронов в ядре
превышает магическое число 82 всего на несколько единиц. Энергия а-
частиц, образующихся при распаде этих ядер, невелика (2,5-1-3,5 МэВ), а
при энергии распада < 2,5 МэВ а-распад, практически, не наблюдается.
Остановимся более подробно на основной группе a-активных изотопов, у
которых Z ^ 84 и А ^ 210. У этих изотопов Та & 4-1-10 МэВ, т. е. диапазон
энергий невелик, тогда как периоды полураспада, варьируются в огромном
диапазоне: от Тг/2 = 3 • 10-7 с (для Ц2Ро) Д° ^1/2 - = 1,4 • Ю10 л (для
go2Th). Между Та
и Т1/2 существует очень сильная зависимость: при увеличении Та в 2 раза
Тх/2 уменьшается на 20 порядков. Например, при распаде ядер Ц2Ро ^ ~ 8,8
МэВ, а при распаде ядер go2Th Та " 4,0 МэВ, т. е. энергии а-частиц
различаются в 8,8/4 =
Т /232 \
1/2 ( ThJ
= 2,2 раза. Отношение же их периодов полураспада равно: -----------------
-=
1 /212 \
1/2 Ро
1,4.101О.3,15.107с 24 т
= ------ _7------ = 1,5.10 . 1акая сильная зависимость вероятности
