Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гольдин Л.Л. -> "Квантовая физика. Водный курс" -> 103

Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.

Гольдин Л.Л., Новиков Г.И. Квантовая физика. Водный курс — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 496 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayafizikavvodniykurs2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 190 >> Следующая

(рис. 103 а), так что волновые функции электронов почти не перекрываются,
полная энергия системы равна сумме внутренних энергий атомов (т. е.
удвоенной энергии основного состояния одного атома водорода). При
сближении атомов (рис. 103 б) волновые функции электронов начинают
перекрываться. Из опыта мы знаем, что существуют стабильные молекулы
водорода. Следовательно, по
268
Глава 11
крайней мере при некоторых расстояниях между атомами энергия системы из
двух атомов водорода меньше суммы энергий отдельных атомов. Наша задача -
выяснить причину этого уменьшения.
Будем искать полную энергию системы, схематически изображенной на рис.
103.
Рис. 103. Распределение электронов в системе, состоящей из двух атомов
водорода: а - при большом расстоянии между ядрами; б - при уменьшении
этого
расстояния.
Чтобы решать задачу точно, следует найти решение уравнения Шредингера
ЕЧ* = ЕЧ!. (11.1)
Оператор энергии Е включает в себя кинетическую и потенциальную
(электростатическую) энергию обоих электронов, а также потенциальную
энергию ядер; их кинетической энергией можно пренебречь, поскольку ядра
(протоны) во много раз тяжелее электронов:
Е = Тг + Т2 + U, ?i =
Т2 =
U =
ftl( '91 + +
2 то' ^дх\ дУ\ dz\>
ftl( ' д2 , 91 + д2 ^
2 m ' кдх\ ду1 dzV
е2 е2 е2 е2
Г\А Г2В Г\В Г2А
(11.2)
(11.3)
2 2 + - + - ^ Г12 ^ ГАВ '
где индекс 1 относится к первому электрону, индекс 2 - ко второму
электрону, а индексы А и В - к первому и второму ядрам. Точное
аналитическое решение уравнения (11.1) при таком значении оператора Е
невозможно.
§52. Молекула водорода. Обменное взаимодействие
269
К вычислению энергии рассматриваемой системы можно подойти и другим
путем. Согласно (2.17) среднее значение энергии (которое в нашем случае
равно самой энергии) вычисляется по формуле
Входящая в это уравнение функция Ф зависит от координат обоих электронов
и от расстояния между ядрами атомов. Строго говоря, это та самая функция
Ф, которая является решением (11.1), так что вычисление энергии требует
предварительного решения уравнения Шредингера. Казалось бы, написав
(11.4), мы не приблизились к решению задачи. И действительно, при желании
решить задачу точно никаких упрощений от применения этой формулы не
возникает.
Дело существенно меняется, если речь идет о приближенном вычислении
энергии. В этом случае в уравнение (11.4) можно подставлять разумно
выбранные приближенные значения Ф функции1.
Рассмотрим электростатическую энергию U, определяемую (11.3). Первые два
члена в этой формуле описывают энергию притяжения электронов к "своим"
ядрам, а вторые два - энергию их притяжения к "чужим" ядрам. Из
распределения волновой функции, изображенного на рис. 103, видно, что
энергия связи электрона со "своим" ядром намного больше, чем с "чужим".
Вторая пара членов, следовательно, мала по сравнению с первой. Пятый и
шестой члены формулы не превосходят третьего и четвертого. Кроме того,
следует иметь в виду, что вторая и третья пары членов имеют разные знаки
и частично компенсируют друг друга. Таким образом, при сближении атомов
главную роль продолжает играть взаимодействие электронов со "своими"
ядрами и волновые функции изменяются не очень сильно. В выражении для
потенциальной энергии все члены, начиная с третьего, играют роль
поправки. Формулы (11.2) и (11.3) поэтому удобно переписать, отделив
главные члены от поправочных:
(11.4)
Е = Е\ + Е2 + Uo,
(11.5)
где
, j?_\ _ j?_ 2 rn\dx\ ду\ dz\> Г2В'
Г1А '
(11.6)
О О | О | о
Г1В ~ тЧа + + ГАВ ¦
^бщая теория таких расчетов, так называемая теория возмущений, в этой
книге не излагается.
270
Глава 11
Рассмотрим теперь волновую функцию Ф, входящую в (11.4). Как уже было,
отмечено, взаимодействие атомов слабо сказывается на волновых функциях
электронов. В § 31 мы выяснили, как следует записывать волновую функцию
тождественных частиц. Там было показано, что волновая функция двух таких
частиц представляет собой симметричную или антисимметричную комбинацию,
составленную из волновых функций отдельных частиц, причем для электронов
должна быть выбрана антисимметричная комбинация
Ф = а\фА(1)фв(2) - фв(1)фА(2)]. (11.7)
Здесь фл( 1) - волновая функция, описывающая распределение первого
электрона в атоме А, фв(2) - волновая функция второго электрона в атоме
В, а волновые функции фА(2) и фв( 1) описывают атомы с переставленными
электронами. Буквой а обозначена нормировочная константа. Ее мы вычислим
позднее.
Волновые функции фл(Т) и т.д., входящие в (11.7), являются полными
волновыми функциями и описывают как пространственное, так и спиновое
состояние электронов. В дальнейших вычислениях нам потребуются только
пространственные части волновых функций. Спины электронов могут быть
параллельны или антипараллельны друг другу. При перестановке электронов
нужно ставить первый электрон в то пространственное и спиновое состояние,
которое до перестановки имел второй электрон, и наоборот. Рассмотрим
вначале случай, когда спины электронов параллельны. Перестановка
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 190 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed