Цифровая обработка сигналов: Справочник - Гольденберг Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
которой максимальный уровень боковых лепестков Ms удовлетворяет условию
Mg<?Mi-Мг, где М2>0- запас по уровню боковых лепестков в децибелах. Запас
М2 необходим ввиду того, что coi и со2 не обязательно кратны би-нам ДПФ
(см. пример 8.7). Как правило, принимают Af2=7 ... 10 дБ [8.2].
Пусть Afi=-40 дЪ; М2= 10 дБ. Тогда по данным табл. 8.1 следует выбрать
оконную функцию среди тех функций, для которых Ms<-50 дБ. Критерий,
позволяющий однозначно определить оконную функцию, формулируется
следующим образом: среди всех функций, удовлетворяющих условию МбС <-50
дБ, следует выбрать ту, для которой Ks=AFTs имеет наименьшее значение
[см. (8.1) и (8.10)]-последнее обеспечивает наименьший интервал
наблюдения 0 при заданной разрешающей способности Af. По данным табл. 8.1
оказывается выбранной оконная функция Кайзера-Бесселя с параметром а=
=2,5 и Ко=ЛКгб=2,2. Так же, как в примере (8.7), определяются Af= = ((c)21-
ы|2)/(2я), а затем с помощью (8.1)-0 и N. Неопределенность, которая может
иметь место при вычислении I(k) в соответствии с (8.3), исключается
введением дополнительных нулевых отсчетов [см. пример 8.7 и формулу
(8.4)]. Поскольку обрабатываемая последовательность не содержит шумовой
составляющей, нецелесообразно усреднение в соответствии с (8.5).
Многие последовательности х(пТ), представляющие собой сумму
детерминированных и случайных последовательностей, могут быть достаточно
хорошо аппроксимированы выходным сигналом у(пТ) линейного дискретного
фильтра, описываемого разностным уравнением [см. (2.1)]:
где v(nT) - выбранный входной сигнал.
Модель, описываемую (8.15), называют АРСС-моделью (моделью процесса
авторегрессии со скользящим средним). Как правило, в задачах
спектрального анализа сигнал v{nT) представляет собой отсчеты белого шума
с нулевым средним значением и дисперсией а2. Если коэффициенты a.j и bi
определены так, что достаточно точно выполняется равенство
8.3. МЕТОДЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА, ОСНОВАННЫЕ НА ЛИНЕЙНОМ МОДЕЛИРОВАНИИ
8.3.1. Линейные модели и расчет СПМ
Q
у (пТ) = - V aj у (("-/) Т) +y,btv ((n- 1)Т), (8.15)
/=1
1=0
у{пТ)язх{пТ) при я =0,1,...,
(8.16)
• то СПМ S(co) можно рассчитать следующим образом:
S (со) = о2 [В2 (а)1 С2 (со)],
(8.17)
/=1 \/=л
227
Если в (8.15) а,-0 при /=1,2,... ,Q, то соответствующая модель
Qi
У (пТ) = 2 Hv((n- I) Т)
/=о
(8.18)
называется СС-моделью (моделью процесса скользящего среднего), или чисто
нулевой моделью, поскольку передаточная функция соответствующего
дискретного фильтра имеет лишь нули, т. е. фильтр является нерекурсивным.
При выполнении (8.16) для вычисления СПМ S(со) можно использовать (8.17),
положив С(со) = 1.
Если в (8.15) &о=1 и bi=0 при />0, то соответствующая модель
Q
У (пТ) = -2 ajy((n-j)T) + v(nT) (8.19)
/=I
называется АР-моделью (моделью процесса авторегрессии), или чисто
полюсной моделью. Для этой модели при выполнении (8.16) для вычисления
СПМ S(со) можно использовать (8.17), положив В(ш) = 1.
Принципиально все три модели применимы в одинаковой степени, поскольку
существует теорема декомпозиции [6.8], утверждающая, что стационарный
процесс с конечной дисперсией, описываемый с помощью одной модели, можно
представить любой из двух других моделей достаточно большого порядка. Для
АР-модели процесс вычисления параметров модели оказывается наиболее
простым - он сводится к решению тем или иным способом систем линейных
алгебраических уравнений. Поэтому ниже рассматривается определение
параметров только АР-модели при различных условиях.
8.3.2. Определение параметров АР-модели по известной
автокорреляционной функции последовательности
Если известна автокорреляционная функция R(m) анализируемой стационарной
последовательности х(пТ), то для точного равенства у(пТ)=х(пТ) при "=0,
1, ... достаточно, чтобы параметры АР-модели - коэффициенты аи аг, ...
..., а<э и дисперсия а2 - удовлетворяли линейным уравнениям Юла - Уокера
[6.8]:
R (пг) - -
(8.20)
-^?ajR (m-/) при пг > 0;
/=1 Q
-y',ajR(-/) + о2 при от = 0.
/=1
Выбирая Q-f 1 уравнение из (8.20), можно получить систему линейных
алгебраических уравнений, в которой число неизвестных равно числу
уравнений:
-R (0) ЯП)
Ж - 1) ?(0)
R(-Q)
R( - Q+l)
R(Q) R(Q- i)
R(0)
1 - Г"'1
Cl I" = i
1 •••
aQ _ I n L _
(8.21)
Решение системы (8.21) позволяет определить значения параметров модели,
обеспечивающие выполнение приближенного равенства (8.16). Поскольку
матри-
228
да в правой части (8.21) симметрическая и теплицева, существует
эффективный алгоритм решения системы (8.21)-алгоритм Левинсона [6.8,
6.9].
Пусть {aQI, aQ2....aQQ, o2Q}-набор параметров соответствующей АР-мо-
дели порядка Q, т. е. для модели первого порядка (Q=l) у(пТ)=-any ((п- -
1)7')+Ui(n7'), причем дисперсия шума Vi (пТ) равна a2i, для модели
второго порядка (Q=2) у("Г)=-а21у((п-1)1)-а22у((п_2)Г) +v2(tiT), причем
дисперсия шума v2(riT) равна о2г, и т. д. Тогда алгоритм Левинсона может
быть записан так:
йи = -"О)/* (0); of=(l - |au|2)i?(0);
