Цифровая обработка сигналов: Справочник - Гольденберг Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
включает в себя все входные сигналы, для которых тах|л:(яГ) | <1 для всех
пфО. Начальные условия Лг(0) = (0, 0).
Условия устойчивости:
РЦФ считается устойчивым, если для любого ограниченного воздействия
х(иГ)еА'о выполняется неравенство
max \l(nT)~h(nT) | < р, (5.27)
п^О
158
где %{пТ) и ti(nT) -процессы, протекающие в РЦФ при ограниченном входном
воздействии х(пТ) и начальных условиях А(0) и Л((0) соответственно, а [г
- достаточно малая положительная константа, значение которой уточняется в
(5.31);
РЦФ считается асимптотически устойчивым, если для любого ограниченного
воздействия х(пТ) е!с выполняется условие
lim {| (п Т) - {п Т)} = 0 (5.28)
П~-*-оо
для произвольных начальных условий Л(0).
Если х(пТ)= 0 для всех 0, условия (5.27) и (5.28) определяют устойчивость
положения равновесия. Если х(пТ)=?0 для п^О, условия (5.27) и (5.28)
определяют устойчивость процессов.
5.5.3. Устойчивость положения равновесия
При анализе устойчивости РЦФ рассматриваются, как правило, звенья пер-_
вого и второго порядков, на основе которых строятся структуры РЦФ.
Асимптотическая устойчивость положения равновесия. Критерием
асимптотической устойчивости положения равновесия (критерием Я. 3.
Цыпкина) является выполнение неравенства
Re A (eiaT) >- 4" , (5-29)
k
где k=\ для фильтра первого порядка и &=1/(т]-2sQ~sn) для фильтра второго
порядка (sq и 5Д - разрядности после запятой регистров сумматора и
умножителей соответственно, а т] = 1 для усечения и г)=0 5 для
округления). ¦Смысл формулы (5.29) состоит в том, что амплитудно-фазовая
характеристика А(е'"т) фильтра должна располагаться в комплексной
плоскости справа от вертикальной прямой, проходящей через точку (-1 /к, i
0).
Из (5.29) следует, что РЦФ первого порядка асимптотически устойчив. Для
РЦФ второго порядка достаточные условия устойчивости (5.29) при sq=s" не
выполняются (т. е. необходимо, чтобы ss>s9).
При невыполнении условия (5.29) выходной сигнал РЦФ (при произвольных
начальных условиях Л(0) и х(пТ) =0) по истечении определенного времени
либо становится равным нулю, либо имеет вид периодической
последовательности, именуемой "предельным циклом при нулевом входе"
(zero-input limit cycle). Методы определения границы предельных циклов
описаны в [3.5, 5.8].
Устойчивость положения равновесия. Рекурсивный цифровой фильтр второго
порядка устойчив в смысле (5.27) при выполнении следующих условий;
159
1. Эквивалентный линейный фильтр устойчив (т. е. полюсы передаточной
функции находятся внутри единичного круга 2-плоскости),
2. В фильтре используется сумматор с характеристикой (нелинейностью
переполнения) P(t), расположенной в заштрихованной области (рис, 5.13),
3. Величина р в (5.27) достаточно мала (сравнима с допустимым уровнем
шумов).
К требуемому виду характеристики Р(?) относится и часто используемая,
характеристика типа "ограничения":
Р(1)
{С.
Isir
(5.30)
при |(|<1;
Lsign ? при |t,| > I,
обеспечивающая отсутствие колебаний переполнения (Overflow oscillations),
т. е. предельных циклов с амплитудой уровня переполнения.
Величина р в (5.27) оценивается точно так же, как оценивалась ошибка
квантования в 3.9.1 [см. (3.19)-(3.21)]:
p<Q 2 1М"П1,
л=0
(5.31)
где Q=2-гд; h(nT) -импульсная характеристика фильтра. Очевидно, что
(5.31) является простой оценкой сверху для предельных циклов.
Увеличивая разрядность регистра sH, можно получить сколь угодно малое
значение р.
5.5.4. Устойчивость процессов
Условия устойчивости:
1. Необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости
процессов в РЦФ второго порядка для входных сигналов х(пТ)еХо при
характеристике нелинейности сумматора (5.30), т. е. при неограниченной
разрядности регистров после запятой, является
шах |<7 (я Т)| < 1, (5.32)
О
где q(nT)=-vn+2Sin (я_4~ 0 ф. v_ ~[/а2; <p=arccos(-aJ2x); щ и а2 -
коэффици-sin ф
енты полинома A (z) =aiZ~l+a2Z~2 в знаменателе передаточной функции
He(z).
Рис. 5.14
160
Рис. 5.15
Пример 5.12. Исследуется фильтр с передаточной функцией //(г) = 1/(1- -
1,911г~1 +0,940z-2), алгоритм работы которого описывается разностным
уравнением 1 (пТ) -Р{х (пТ) +1,9111 (пТ-Т) -0,940| (пТ-2Т)}, где Р (•)-
характеристика вида (5.30). При начальных условиях ЛЦО) ={-0,7286; -
0,6770} процесс 1,(пТ) не превосходит уровня переполнения регистра
сумматора (рис. 5.14, кривая 1), т. е. можно считать, что Ai(0)=Ai(0) и
?i(nT)=?;(nT). Для начальных условий Л2(0)={1, 1} процесс |2(пТ)
периодически превосходит уровень переполнения (рис. 5.14, кривая 2), т.
е. фильтр неустойчив в смысле (5.27).
2. При ограниченной разрядности регистров после запятой sE необходимым
и достаточным условием устойчивости процессов в смысле (5.27) для входных
сигналов x(n.T)i=Xo является [5.9]
ОО
max \q (nT)|< 1-2Q V \h(nT)\, (5-33)
где Q=2 д.
Условия (5.32) и (5.33) соответствуют условию нахождения полюсов
передаточной функции H(z) внутри определенной зоны единичного круга z-
плоскости. На рис. 5.15 показаны зоны устойчивости РЦФ второго порядка
