Цифровая обработка сигналов: Справочник - Гольденберг Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
где у - постоянный множитель, значение которого ие меняет форму
преобразования (о выборе величины у см. 5.1.4).
Использование (5.2) обеспечивает однозначное преобразование передаточной
функции Т (s) аналогового фильтра-прототипа (АФ-прототипа) в передаточную
функцию Н(г) рекурсивного цифрового фильтра:
Каждой точке комплексной s-плоскости (s=2+ifi) ставится в соответствие
определенная точка г-плоскости (г=ехр((ст+ifi)7)).
Мнимая ось s-плоскости (s=i?2 для -оо<й<оо) отображается в единичную
окружность г-плоскости (г=ехр(1ю7)).
Левая половина s-плоскости (Re(s)<0) отображается в часть г-ллоскости
внутри единичного круга (|г|<1), т. е. устойчивый аналоговый фильтр
приводит к устойчивому линейному рекурсивному фильтру.
. Соотношение между "аналоговыми" частотами й и "цифровыми" частотами о
определяется уравнением
где w=iо/<йд - нормированная "цифровая" частота. На рис. 5.3 показана
зависимость (5.4) для случая у= 1.
Для частотно-избирательных фильтров (ФНЧ, ФВЧ, полосовых, режектор-ных),
аппроксимируемая АЧХ которых имеет вид кусочно-постоянной функции,
нелинейная (но монотонная) зависимость (5.4) между частотами й и к> не
приводит к нарушению избирательных свойств фильтра при преобразовании
(5.3).
Пример 5.1. Пусть заданы требования к АЧХ цифрового ФНЧ: неравномерность
АЧХ в полосе пропускания ААП, отклонение от нуля в полосе задерживания
ДЛз, а также граничные нормированные частоты полос пропускания Шг.п и
задерживания шР.з (рис. 5.4). Используя нелинейное соотношение
Да- -20 lg (1 -Д Ап); а0= -20 IgA Аз-
5.1.3. Билинейное преобразование
(5.1')
(5.1")
(5.3)
Й = у tg (to 772) - у tg л w,
(5.4)
>38
(5.4) I определяем соответствующие граничные частоты полосы пропуск и
полосы задерживания fiK аналогового фильтра (см. рис. 5.4). Есл:
определить передаточную функцию Т (s) аналогового фильтра-прототш
равномерностью АЧХ в полосе пропускания [0, Ос], равно ДАП, и отк. от
нуля в полосе задерживания Г?2к, °°]> рапным ДА3, а затем выполнить
билинейное преобразование (5.3), нолучим РЦФ, удовлетворяющий
поставленным требованиям. На рис. 5.4 хорошо видна деформация амплитудно-
частотной характеристики РЦФ вдоль частотной оси (особенно в полосе
задерживания). _
,тап)[
Рис. 5.3 Рис. 5.4
Выбор параметра
у = ctg (юг п 772) = ctg зт а)г_п
приводит к нормированному АФ-прототипу (Qc = l), что удобно при ваши
справочников по аналоговым фильтрам.
5.1.4. Обобщенное билинейное преобразование
Обобщенное билинейное преобразование '[1.6, 2.3] обеспечивает п вание
передаточной функции Т(s) нормированного АФ-прототипа (Qc = редаточную
функцию H(z) рекурсивного цифрового фильтра определе] да (ФНЧ, ФВЧ,
полосового, режекторного). Формулы соответствуют! разований приведены в
табл. 5.1. На рис. 5.5 и 5.6 приведены соотв' схемы допусков на АЧХ A
(oj) и затухание a(w) фильтров нижних ча верхних частот (б), полосовых
(в) и режекторных (г).
Пример 5.2. Рассчитаем параметры преобразования и граничные вые" частоты
нормированного АФ-прототипа нижних частот (Qc = l) тырех видов РЦФ,
приведенных в табл. 5.1 (при конкретных значез ничных "цифровых" частот).
Результаты расчета приведены в табл. 5.2, следует рассматривать вместе с
рис. 5.6.
5.1.5. Определение передаточной функции цифрового ФНЧ (ФВЧ) по
справочнику [5.1]
Постановка задачи. Определить передаточную функцию цифров< (ФВЧ)
заданного типа (В, Т, I, С).
Исходные данные: частота дискретизации [д; граничная частота по; пускания
/г.п; граничная частота полосы задерживания fr.s; верхняя
139
Таблица 5.1
Цифровой фильтр Граничные "цифровые" частоты Формула замены Параметр
Связь "аналоговых" частот с "цифровыми" частотами Граничные
"аналоговые" частоты
Нижних частот KJr.iT, tOr.a 1-г-1 Y==ctg яюГ п Й = y tg nw QK =
Ytgn",r.s
Верхних частот СОг.п, Шг.я 1+2-1 s-> v , " Г 1-z-1 Y = tg ягоГ_ п
?3 = y ctg я(r) aK = Yctgntor-3
м <D Полосовой tOr.nl, tOr.nl, tOr.n2, tOr.nS (-гск-^+г-2 Y-ctg я
(tor iI 2-tor rll) COS я (tOr. " 2+tO..,) а"с08Я(ЮГ1П2г-ЮГ1п1) a -
cos 2nw Й - у sin 2nw QK = min(|Q'|, |Q"|), где t a - cos2nwT 3l
^v- - K ^ sin 2ясог>3, a- cos2ntor>32 Q __ у
sm2ntor32
Режектор- ный tOr.nl, tOr.nl, tOr.aK, tOr.n2 1 -г-2 Y= tg Я
(tO|. " g to, n j) COS Я (Юр> n-24-tOr n i) ^ COS Я 2 tOr> n j) sin
2яш fiK"=min (|Q"|, |QJ), где sin 2яи>г з j
5->- V у 1-2аг~1+г~2 Q - y ' ' a - cos 2яю "K a
- со$2яшгз1 sin 2яа>г 3 2 йк - Y* n ^ a-cos 2nwr 3 2
Таблица 5.2
Цифровой фильтр Граничные "цифровые" частоты Параметр Граничные
"аналоговые" частоты
Нижних частот Т^Г.П^ 0,125; е>г.3=0,375 7~2,41 йк"5,82
Верхних частот t^r.n-0,375; (r)г.з=0,125 7"2,41 йк"5,82
Полосовой z^r.31-0,05; ?^r.ni = 0,1; air.n2=0,2; ^.32 = 0,4 7*= 3,08;
а"0,618 й'к"-3,32; о"к"7,49; йк"3,32
Режекторный шг.п1=0,05; ^r.3l = 0,l j (r)г.з2=0,2; Шг.п2 = 0,4 7 "1,96; а
"0,346 П'к"-2,48; Q"K"50,3; йк"2,48
АЫ. |
/\ /У/,'/////.
l~AA п
^гз/ г/ w,
6)
Г.пг wr.3 2
////.'
[77777
ххш
''ес/ ^г-з/ *
е)
