Цифровая обработка сигналов: Справочник - Гольденберг Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
фильтра с N=15 используются все коэффициенты фильтра с N=11);
в) это единственный метод, позволяющий получить аналитические выражения
(формулы) для коэффициентов фильтра, что очень удобно при теоретических
исследованиях его характеристик (см. (4.23) и пример 4.5).
Основной недостаток метода заключается в том, что точность аппроксимации
оказывается низкой. Из сравнения данных табл. 4.2, 4.4 и 4.5 видно, что
прн одних и тех же значениях N максимальная погрешность аппроксимации в
полосах пропускания и задерживания оказывается примерно в 40 раз больше,
чем для метода наименьших квадратов, и примерно в 100 раз большей, чем
для метода наилучшей равномерной аппроксимации.
Метод разложения аппроксимируемой функции в ряд Фурье целесообразно
использовать тогда, когда порядок проектируемого фильтра настолько велик
(N = 5000... 10000), что невозможно применить иные методы аппроксимаций.
Фильтры такого высокого порядка представляют собой почти идеальные
избирательные фильтры, которые используются при моделировании сложных
систем иа ЭВМ.
Основное преимущество метода наименьших квадратов по сравнению с иными
методами состоит в возможности учета дополнительных ограничений на
коэффициенты фильтра, имеющих характер линейных неравенств или равенств
(см. [2-11]), а также в возможности построения сложной целевой функции,
минимум которой соответствует искомому решению (см. 4.3.7, функция
<?(Ь)). По точности аппроксимации метод занимает промежуточное положение
между методами разложения аппроксимируемой функции в ряд Фурье и
наилучшей равномерной аппроксимации.
127
Метод наименьших квадратов требует значительного объема вычислений, так
как для решения задачи необходимо определять коэффициенты и правые части
системы линейных алгебраических уравнений и решить эту систему [см.
(4.26) ]. Этот метод целесообразно использовать в следующих случаях:
когда необходимо учесть дополнительные ограничения на коэффициенты
фильтра или построить сложную целевую функцию;
когда минимизация функции типа (4.24) соответствует физическому смыслу
задачи (см., например, [4.11, 4.12]).
Метод наилучшего равномерного (чебышевского) приближения реализуется, как
правило, в виде эффективного алгоритма Ремеза (см. 4.3.4 и [1.6]). Он
позволяет:
рассчитать фильтр заданного порядка N, для которого максимальная
абсолютная погрешность аппроксимации в полосах пропускания и задерживания
будет минимальна (см. 4.3.4 и пример 4.8);
по заданной максимальной абсолютной погрешности аппроксимации в полосах
пропускания и задерживания рассчитать фильтр наименьшего порядка Nmin,
АЧХ которого удовлетворяет поставленным требованиям;
точно задать отношения между абсолютными погрешностями аппроксимации в
различных полосах с помощью весовой функции (см. (4.9), (4.11) и пример
4.3).
Алгоритм Ремеза целесообразно использовать для расчета нерекурсивных
фильтров всегда, за исключением тех случаев, когда следует использовать
методы разложения аппроксимируемой функции в ряд Фурье или наименьших
квадратов.
4.4. РАСЧЕТ РАЗРЯДНОСТЕЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФИЛЬТРОВ И РЕГИСТРОВ ОПЕРАТИВНОЙ
ПАМЯТИ
4.4.1. Расчет разрядности коэффициентов фильтров
После решения аппроксимационной задачи на ЭВМ коэффициенты фильтра
определяются весьма точно, как правило, с 7-14 десятичными разрядами. Прн
реализации фильтра в виде специализированной микро-ЭВМ каждый коэффициент
должен быть представлен в виде двоичного кода bi, состоящего из цифр
(помимо знакового разряда).
Пример 4.11. Пусть fet=0,3; sK = 15. Тогда, округляя до 15 двоичных
разрядов, получают Ь,=0,010011001100110.
Использование окрутленных двоичных кодов коэффициентов приводит к
изменению характеристик фильтров. На практике часто используют следующий
критерий для расчета разрядности зк.
Пусть требования к АЧХ |Я(е'2ли) | фильтра имеют вид
\В(ш)- 1я(е!2лш)1Ке,-, (4.36)
где B(w)-аппроксимируемая функция; е3- - допустимая погрешность на /'-м
подынтервале аппроксимации. Тогда разрядность sK считается выбранной пра-
N-1_
вильно, если АЧХ фильтра с передаточной функцией Я(г)=2 biz~l (bt -
округ-
/=0
ленные до sK разрядов коэффициенты) удовлетворяет условию (4.36). Для
проверки условия (4.36) используется метод перебора с шагом Дw,
определяемым (4.35).
128
Существуют два метода определения величины sK. Первый метод состоит в
расчете минимально возможного значения sK на стадии решения аппроксима-
ционной задачи. При этом изменяется постановка этой задачи - теперь
должна быть определена аппроксимирующая функция Фк((r), с) заданного
порядка К, удовлетворяющая поставленным требованиям [например, условию
(4.10)] при минимальной двоичной разрядности sK коэффициентов Си Подобные
задачи решаются методом целочисленного программирования [4.13]. Второй
метод состоит в расчете величины sK путем округления коэффициентов,
полученных в результате решения аппроксимационной задачи.
Заметим, что второй метод расчета разрядности гораздо проще первого. При
