Цифровая обработка сигналов: Справочник - Гольденберг Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
z=o
корнями H'(z), лежащими внутри и на единичной окружности.
6. Строится передаточная функция искомого минимально-фазового фильтра
К
И (г) -ЬкИ" (г) = 2 biz~l, bi-b"ibK. Коэффициент Ьк определяется из
условия 1=0
____________ к Гт
^(е'ит) | =]/ |Я'(е!с,)Т) |, эквивалентного равенству 2 bi= Л/ 2 Ь'и Из
1=0 V 1=0
последнего равенства и выражений для H"(z) и Я (z) следует, что
Г~2К~Ч.К-1 \
Н-
Пример 4.10. Пусть требуется построить минимально-фазовый ФНЧ наименьшего
порядка N, АЧХ которого удовлетворяет (4.30) при шг.п=0,125; и)г.з=0,375;
eni=0,02 и e3i=0,0003. По формулам (4.33) находим: еп=0,04; 83=4,5-10-8.
По формуле (4.29) определяем Кп=6. По формуле (4.31) определяем
аппроксимируемую функцию:
B(w) = ! 1 3,99995-10-4яП при 0<ш<0,125,
[ 0 при 0,375^ш^0,5.
По формуле (4.32) определяем весовую функцию
I 1 при 0 =аС &' 0,125;
?(">) - [888889 при 0,375<ш<0,5.
С помощью алгоритма Ремеза определяется ф(°>(ш, с). Для этого на
ЭВМ ЕС
1022 были построены функции Фе(ю, с), Ф7(w, с), Ф8(га, с) и
Фд(ю, с).
В табл. 4.6 приведены значения коэффициентов функций Ф8(га, с) и Фд(w,
с), представленные по способу с "плавающей запятой" с округлением
мантиссы до девяти разрядов (все вычисления в рассматриваемом примере
выполнялись е удвоенной точностью [4.9]), и максимальных погрешностей
аппроксимации Ем.п и ем.з (определение этих понятий см. в примере 4.9).
Из сравнения еп и ем.п, е3 и ем.3 следует, что функция Фв(ш, с) ие
удовлетворяет заданным требованиям, а функция Фд(ш, с) удовлетворяет, т.
е.
123
Таблица 4.6
Таблица 4.7
Значение коэффициента сг 1 Ь,
К=8 К=9 и1
0 0,361345846*10° 0,385157132*10° 0 0,390416447*10-1
1 0,559327544*10° 0,576508110*10° 1 0,189554705*10°
2 0,218077829-10° 0,184717808*10° 2 0,388034893*10°
3 -0,356403466* 10-1 -0,755718326*10-1 3 0,395527617*10°
4 -0,100121651*10° -0,100282529*10° 4 0,144282330*10°
5 -0,599301846• 10-1 -0,236332114* Ю-1 5 -0,923004871-Ю-1
6 -0,178345217*10-1 0,211268721*10-1 6 -0,101840731*10°
7 -0,230165022* 10-2 0,188939744*10-* 7 -0,496114741*10-2
8 -0,120324751 • 10-4 0,631090512*10-2 8 0,290167349.1с-1
9 0,823166338*10-" 9 0,106702259-Ю-1
(r)м. п 0,77089* 10-1 0,16499* 10~1 ем. п 0,82824*10-2
(r)М. 3 0,86725* 10-7 0,18561 * 10-7 ем.з 0,19769*10-"
-ф(°)(w, с) =Ф9(ш, с). Затем определяется функция с) =Ф<°)(w, с) +
+0,19* 10-7. По коэффициентам Ф(0)(ш, с) строится функция
18
#'(*) = 2 Ь\г~1.
1=о
На ЭВМ вычисляются корни функции Н'(г). Строится передаточная функция
9
Н(г) = У^Ъ12~1,
г=о
корни которой совпадают с корнями H'(z), лежащими внутри единичной
окружности (корни, лежащие на единичной окружности, в данном примере
отсутст-
9 л/18
"уют), причем 2 bi= у 2 Ь'и Коэффициенты bi этого фильтра и максимально 4
1=0
ные погрешности аппроксимации
8Mn = max|l- IЯ ( е12 я ш) 11 при 0< Ц'<0,125,
еМ8 = тах |Я ( е,2Яи;)1 при 0,375 ^w^0,5
приведены в табл. 4.7.
Из сравнения величин eni и еы.п, e3i и ем.з следует, что синтезированный
минимально-фазовый фильтр удовлетворяет всем условиям задачи.
4.3.7. Решение аппроксимационной задачи для амплитуднофазового
корректора по методу наименьших квадратов
Амплитудно-фазовый корректор, т. е. фильтр, у которого АЧХ и ФЧХ близки к
заданным функциям A* (w) и <р*(ш), можно построить в виде нерекурсивного
фильтра, используя метод наименьших квадратов [4.3].
124
При этом коэффициенты bB, Ьи..., bN-t определяются из условия минимума
величины
0,5
G(b) = J q (w) [в^ (ад) + в| (ад)] d ад. о
Здесь
N-1
0Х (ад) = А* (ад) cos ф* (ад) - fy cos 12л ад;
/=о N-1
(c)2 (ад) = А* (ад) sin ф* (ад) +2 fc/ sin / 2л ад,
1=0
где Л*(ад), ф*(ад) -заданные функции; <7(ад) -весовая функция.
Необходимые и достаточные условия минимума G(b)
-^-0, /==0, 1 N-l,
dbi
представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно
коэффициентов b0, b\ bK-1
N-1 0,5
2 bl j q(w)cos[(l-j)2nw]dw =
/=о о
0,5
= J q (ад) А* (ад) cos [ф* (ад) -j- j 2 л ад] dw, / = 0,1,..., N- 1. о
Решив эту систему на ЭВМ, можно определить коэффициенты нерекурсивного
фазового корректора. В частном случае при <7 (ад) = 1 система может быть
решена в общем виде и коэффициенты определяются по формуле
0,5
bi - 2 j А* (ад) cos [ф* (ад) -j-12 л ад] d w. о
4.3.8. Оценка погрешности аппроксимации
Как правило, погрешностью аппроксимации АЧХ в /-й полосе пропускания или
задерживания фильтра с граничными частотами (1ц и Оц называют величину
Sj = max IВ (ад) - IН ( е'2 п ш) 11 (4.34)
при u:j^w^a2j.
Для наилучшей равномерной аппроксимации
тах|Д(ад, с)1
8,- - ---------------- при а и' ^ ад ^ "2 j,
<7 (ад)
где функция А (ад, с) определена в (4.27); величина тах|Д(ад, с)| всегда
известна после решения задачи аппроксимации; q(va) = const.
Для иных методов аппроксимации значение е3 рассчитывается на ЭВМ методом
перебора значений функции |В(ад)-|А(е"2Дк) ]| с шагом Дад на интервале
[aij, a2j]. Максимально допустимое значение Дад, при котором е3 еще
рассчитывается достаточно точно, определяется выражением '[4.10]
