Цифровая обработка сигналов: Справочник - Гольденберг Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
значения: с0=0,4999999; ci=0,5986008; с2=0,0000000; с3=-0,1188343; с4=
=0,0000000; С5=0,0207811 при следующих точках альтернанса: ой=0,0512220г.
0)2=0,0908867; ш3=0,1062999; о)4=0,3937000; о)5=0,4091255; и)6=0,4487495;
w7= =0,5000000 и Д(о)ь с) =-0,0005476.
На рис. 4.6 показаны графики B(w) и Ф5(га), с). Как правило, аналитически
функцию иаилучшего равномерного приближения определить невозможно. Одним
из наиболее эффективных методов численного определения функций че-
бышевского приближения является алгоритм Ремеза [1.6, 2. 11, 4.7]. Суть
это-го алгоритма, реализуемого на ЭВМ, сводится к последовательной моди-
фикации коэффициентов аппроксимирующей функции до тех пор, пока с
заданной степенью точности не
оказываются выполненными условия
обобщенной теоремы Чебышева, т. е. не получено чебышевское приближение. В
приложении 5 приводится описание программы, реализующей алгоритм
Ремеза.
Рис. 4.6
4.3.5. Решение чебышевской аппроксимационной задачи для фильтра с
линейной ФЧХ с помощью алгоритма Ремеза
Пусть требуется определить коэффициенты ФНЧ с линейной ФЧХ мини-мального
порядка N=Nmin, АЧХ которого удовлетворяет условию типа (4.10). Для того
чтобы уменьшить объем вычислений иа ¦ ЭВМ, можно ориентировочно
определить значение Ад"Nr/li7l по следующей эмпирической формуле
справедливой для ФНЧ [1.6]:
N1 = Wl^-W ^ D2 (?п' ^ ("г.8 "г.п) + 1 ' (4-29^
г.з г.п
где D1(en, sB) = [5,309-Ю-3 (lgвц)(r) + 7,114-Ю~2 lgеп-4,76Ы(Г1] lge3-f +
[-2,66-10-3 (IgeD)2_5,941-Ю-1 lgen-4,278-Ю-1]; ("п. е3) =
= 11,01217 + 0,51244 (lg еп- lg е8);
еп и е3 - максимально допустимые отклонения АЧХ от аппроксимируемой
функции В (w) соответственно в полосах пропускания и задержания.
Очевидно, что фильтру наименьшего порядка NfvNmin (оптимальному фильтру)
соответствует оптимальная функция ф(°)(а), с) (см. 4.2.1). Для того чтобы
определить функцию ф(°)(о), с), нужно построить несколько функций
наилучшего равномерного приближения к функции B(w) с весом, определяемым
(4.11), различных порядков начиная с K-KB=(Ni-1)/2 (для нечетных Nt) или
с К=Кв= = (Лд-2)12 (для четных Nt). Если при К=Кв условия (4-Ю) не
выполняются хотя бы для одного /, необходимо увеличить К. Если (4.10)
выполняется,
121
необходимо уменьшить К¦ Процесс вычислений заканчивается тогда,
когда
•Фк(&', с) удовлетворяет (4.10), а Фи-i(а1, с) (или фк-г(ш, с)
для равнопо-
лосиых фильтров) не удовлетворяет, причем Ф(°)(ш, с)=Ф?(и, с).
Пример 4.9, Пусть шг.п=0,Г25; шг.а=0,375; еп=е3=3-10-4. Тогда из (4.29)
.Vj =14. Поскольку проектируемый фильтр-равнополосный, с учетом (4.14)
Кв=
=8. С помощью алгоритма Ремеза строятся функции наилучшего равномерного
приближения Фt(w, с) и Фб(ш, с), аппроксимирующие функцию
Таблица 4.5
1 Ь| = bN-i-l
2V-11 N-IS
0 0,0130539 -0,0037370
1 0,0000000 0,0000000
2 -0,0638686 0,0205680
3 0,0000000 0,0000000
4 0,3016116 -0,0723199
5 0,5000000 0,0000000
6 0,3053691
7 0,5000000
(r)м.п = 0,0015943 0,0002395
= 8М.З
B(w) =
1 при ,0 при с весовой функцией 1 при при
0 <0,125;
0,375 0,5
0<ш< 0,125,1 0,125<ш<0,5
максимальных погрешностей при Осшсшг.п и Шг.зСК'сО.б [см. (4.2.7)].
Для полосовых фильтров ориентировочно N приведенным в [4.8].
(в (4.11) полагается /?=3-10~4). При К=Кв=8 требования к АЧХ выполняются:
|1-Ф8(ш, с)|^3-10-4 при 0< ^ш^0,125 и |Ф8 (ш, с)|^3-10-4 при 0,3750,5;
при К= 6 требования к АЧХ не выполняются, т. е. Armin= 15. В табл. 4.5
приведены значения коэффициентов фильтров с Аг= 11 и N=15 и аппроксимации
8м.п=ем.3=тах|В(ш)-Ф(га, с) |
определяется по формулам,
4.3.6. Решение чебышевской аппроксимационной задачи для минимально-
фазового фильтра
Пусть требуется построить минимально-фазовый ФНЧ минимального порядка N
по заданной АЧХ (см. 4.2.5, задача 2), причем заданы условия типа (4.10):
II - A{w) I ^ еп1 при 0 ^ w ^ а;
|А(ш)| <831 при
Точный алгоритм решения сводится к следующему:
1. Необходимо построить оптимальную функцию Ф<°>(ш, с) удовлетворяющую
отношениям:
11 + 8п1 - е|,/2-Фк (w, с) I <2 еп1 при 0 < w < и>г п,
wr ^ w ^ 0,5.
(4.30)
з!
при
^ w ^ 0,5,
г.з • •
где Фк(ш, с) = J] Cl cos 2 л w.
1=о
Каждая функция последовательности, которую следует построить для
определения Ф<°>(ю, с) (см. 4.3.5), строится как функция наилучшего
равномерного приближения к аппроксимируемой функции
В (w)
-Г
+4-4/2
о
122
при
при
' Г.П"
.<w<0,5
w.
(4.31)
Г.З
с весовой функцией
г 1] при 0<ш<ю •
9^)~ {4еп1/е211 при о>гз0,5. (4'32^
Ориентировочная оценка величины начального порядка Кв функции Фk(w, с)
(см. пример 4.9) может быть получена с помощью (4.29), причем Kb=(Ni-1)/2
и
8п = 2 еп1; 83 = е2[/2. (4.33)
2. Строится функция Ф<°>(ш, с)=Ф<°>(ш, с) +Л1+8М, ие имеющая
вещественных корней. Величина М=шах|Ф(ш, с) | при
гв)Г.3^и"^0,5; ем = (10~2...
... 10-3) М.
SK
3. По коэффициентам Ф<°>(и>, с) строится функция H'(z)- 2 Ъ\г-1 [см.
1=0
(4-22)].
4. Вычисляются корни функции H'(z).
K-i
5. Строится функция Н"(г) = 2 b"iz~l+z~K, корни которой совпадают с
