Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гольденберг Л.М. -> "Цифровая обработка сигналов: Справочник" -> 43

Цифровая обработка сигналов: Справочник - Гольденберг Л.М.

Гольденберг Л.М. Цифровая обработка сигналов: Справочник — М.: Радио и связь, 1985. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): cifrovayaobrabotkasignalov1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 97 >> Следующая

1 2 0,0000000 -0,0318422 0,0000000 -0,0114632 0,125 0,9665278
0,9747989
3 0,0000000 0,0000000 0,250 0,5000000 0,5000000
4 5 0,2865796 0,5000000 -0,0318522 0,0000000 0,375 0,0334722
0,0252012
6 - 0,2865796 0,500 0,0134514 0,0017544
7 - 0,5000000
4.3.3. Метод наименьших квадратов
Этот метод точно соответствует критерию (4.8) - при заданных величинах
4*1, С12 и функциях q(to), Ф(ш, с) и В(ю) требуется определись вектор с,
минимизирующий целевую функцию
-'2
G(c)=? q (to) [В (to) - Ф(до, с)]2dio. a,
Необходимые и достаточные условия минимума (4.24) [4.4] имеют вид dG( с)
дсп
- = 0, т = 0, 1, 2, ..., К
(4.24)
(4.25)
и с учетом (4.7) сводятся к системе линейных алгебраических уравнений
относительно со, Си ..., Ск'-
118
к
2 ^т,1с1 ^т,К+1*
1=0
где dmtl= § q(w)cpm(w)q>i(w)dw; 1=0,1, ..,К;
а,
dm, к+1 = i Я М1В (ад) фт (ад) d ад.
а,"
а,
(4.26>
Пример 4.6. Пусть ai=0; аг=0,5;
1 при 0^ад^адг.п;
О при шг.а^ ад ^0,5; К
?(ад)={
Ф (ад, с)= ^]c/Cosl2nw,F'g(w) = 1=0
1 при Osgat^ror.n;
О при ге1г.ц<ш<шг.з; g при wr.s^w^.0,5,
где g=const. Тогда
d,
т, К+1
-[
ад при tn=0;
г.п г *
sin (т 2я wp ,j)/(2m я) при тфО; (r)РТТ + ?/2
wp a при т=1=0;
dml =
sin (m -f-1) 2 я ад
gw _
___________________________г.п .
4 (m -J- /) я "* 4
g sin (m + 0 2 я шг з
при т=1ф0;
- 2 4(т+/)я
sin(m-l)2nwpn sin (m-j-/) 2 п адгп
+
4 (т-/)я '
g sin (т-[)2nwr3
4(m-\-l)n
g sin (т +1) 2я шг в
4 (т-/)я
при т=т^/; т= 0,1, .... /С; ?=0,1, .... К.
4 (т -(- /) я
Пример 4.7. Для условия примера 4.6 при адг.п=0,125; адг.з=0,375: g=*
= 1 рассчитать коэффициенты равнополосных ФНЧ при N=11 и ЛГ=15 и значения
АЧХ для 5 равноотстоящих значений ад, начиная с ад=0 с шагом Дад= =0,125.
Коэффициенты фильтров bi и значения АЧХ А (ад) приведены в табл. 4.3 и
4.4.
Таблица 4.3
Таблица 4.4
1 ьг= bjv'-l -1 W Значение А(гс) при N, равном
ДГ-11 Лт = 15 11 15
0 0,0118785 -0,0033884 0,000 1,0009418 0,9998589'
1 2 -0,0000003 -0,0621937 0,0000021 0,0197280 0,125 0,9965320
0,9993988-
3 0,0000008 -0,0000073 0,250 0,4999968 0,4999387
4 5 0,3007862 0,4999990 -0,0713280 0,0000137 0,375 0,0034674
0,0005983
6 0,3049177 0,500 0,0009420 0,0001417
7 0,4999840
119
Погрешность аппроксимации по методу наименьших квадратов существенно
меньше, чем погрешность аппроксимации по методу разложения в ряд •Фурье
аппроксимируемой функции. Отклонение значений коэффициентов, приведенных
в табл. 4.3, от значений, определяемых по формуле (4.14), для рав-
нополосных фильтров определяются погрешностями решения линейной системы
на малой ЭВМ.
4.3.4. Метод наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации.
Алгоритм Ремеза
К
Пусть заданы совокупность (класс) Г функций ФK(w, с)= 2 сгфг(а')>
/=о
где ф; (w) ¦- известные функции, например qi=cosl2nw или фi=wl,
аппроксимируемая функция B(w), весовая функция q(w) и замкнутый интервал
[cti, а2]. Тогда функцией наилучшего равномерного (чебышевского)
приближения в классе Г называют функцию Фн(а>, с) с такими значениями
коэффициентов си которые соответствуют минимальному значению
е (с) =max |Д (w, с)|, a1^ws^a2, (4.27)
где Д(w, с)=q(w)[B(w)-Фг((r), с)], е(с)-максимальная погрешность
аппроксимации на интервале [cti, аг] для определенного набора значений
коэффициентов аппроксимирующей функции.
Очевидно, что функция наилучшего равномерного приближения точно
соответствует критерию (4.9). Для некоторых классов функций Фк(ш, с) [к
ним, в частности, относятся функции (4.13) и (4.19)] непрерывной на
интервале [а., аг] функции B(w) и кусочно-непрерывной
положительной на том же
интервале функции q(w) обобщенная теорема Чебышева [1.6, 4.6]
устанавливает признак, выделяющий функцию наилучшего равномерного
приближения среди всех функций данного класса; для того чтобы функция
Фл(ш, с) была функцией наилучшего равномерного приближения к функции B(w)
с весовой функцией q(w), необходимо и достаточно, чтобы функция Д(ш, с)
принимала наибольшие и равные друг другу по абсолютной величине и
чередующиеся по знаку значения в А+2 последовательно расположенных точках
(точках аль-тернанса) wt, w2, ..., интервала [ai, аг], т. е.
Д (wx, с) = - Д (ш2, с) = - = (- 1)к+1 Д (ц'к+2, с); (4.28)
а[ ••ф Wi <С ш2 <С • * -<С | о а2;
|Д (Wj, с)!>!Д(ш, с)|, /=1, 2,..., к + 2.
Последнее отношение истинно при любом значении w, принадлежащему
интервалу [ai, аг].
Теорема (4.28) справедлива и для аппроксимируемых функций, заданных на
отдельных интервалах, не имеющих общих точек. В этом случае функция
должна быть доопределена на промежуточных интервалах так, чтобы в целом
получилась непрерывная функция на замкнутом интервале, включающем все
заданные интервалы. Все точки альтернанса должны располагаться только на
заданных интервалах.
Пример 4.8. Пусть
(1 при 0^ш^0,1063;
B(w)=<
10 при 0,3937^ 0,5;
120
q{w)
-{
1 при 0=^0)^0,1063;
1 при 0,3937^0)^:0,5; 5
Ф5 (ш>, с) = У] с{cos 12 я w. /=о!
Тогда коэффициенты функции наилучшего равномерного приближения имеют
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed