Цифровая обработка сигналов: Справочник - Гольденберг Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
комплексного сигнала
v (пТ) = x(nT)-j-ix (пТ), (4.15)
спектр которого V'(ei2**"') удовлетворяет условию
у / i 2 я _ /2 X ( е' 2ла>) при 0^ да ^0,5 (4.16)
\ 0 при 0,5<да<1,
где X(е2л,г) - спектр заданного сигнала х(пТ). Из (4.15) и (4.16)
следует,
что спектр сигнала х{пТ) равен
I-iX(ei2naS) при 0^да<0,5;
Х(е'2яш) при 0,5<да<1,
116
Х( е
i 2 я w\ I
U
т. е. для получения сигнала ?(пТ) [и тем самым сигнала v(пТ)] достаточно
пропустить сигнал х(пТ) через идеальный ПГ (рис. 4.5) с комплексной
частотной характеристикой:
Hn(e'^"1 = f",np"0f"<0;5; (4.17)
[ 1 при 0,5<ш<1.
Для идеального ПГ
Re [//и ( е' 2 я ")] = 0; )
ы 1я.(е-)]=(-;npH0"fr<"f f ,4Л8)
t 1 при 0,5<О><1. J Очевидно, что идеальный ПГ нереализуем. Для того
чтобы определить передаточную функцию Яр (2) реального ПГ, необходимо
аппроксимировать характеристики (4.18). Возможно построение реального ПГ
в виде как рекурсивного, так и нерекурсивного фильтров. При построении ПГ
в виде нерекурсивного фильтра целесообразно использовать фильтр вида .3
(см. 4.1), причем аппроксимирующая и аппроксимируемая функции имеют вид:
xtaTJ
ПГ ~*7 7-1
IX (л 77
Рис. 4.5
К
Ф (да с) = J] cl sin / 2 я w; i=i
(4.19)
B(w)=-1 при <7^ ^ ш ^ сс2 < 0,5 .
При ai+a2=0,5 и выборе весовой функции q(w), удовлетворяющей условию
q(w)= const, ПГ реализуется в виде равиополосного нерекурсивного фильтра
(см. 4.2.3), причем Со=0, С2г=0 при 2^21*?.К.
4.2.5. Минимально-фазовые фильтры
Для минимально-фазовых фильтров формулируются две основные задачи
аппроксимации. В первой задаче заданы АЧХ A(w) и ФЧХ ф (да) фильтра;
требуется определить H(z) так, чтобы выполнялись приближенные равенства
[4.3]:
1Я(е'2яси)| гг A(w); j
(4.20)
arg [Н ( е12яш)] " ф(ш)
При этом вводятся аппроксимируемые функции:
Вг (ш) = A (tii) cos ф (ш); В2 (и) = A (w) sin <р (w) и аппроксимирующие
функции:
Л-1
Ф! (w, b) = J] bi cos 12я w;
1=0
N-l
Ф2(w, b)= У. bi sin I2n w,
1=0
так что вместо (4.20) рассматриваются эквивалентные им приближенные
равенства:
(ш, Ь) " Вг (w); Фг (w, b) " В2 (w) 116
'} (4-21)
Во второй задаче задана лишь АЧХ A(w), а ФЧХ может быть произвольной. В
этом случае аппроксимируемая и аппроксимирующая фукции имеют вид:
В (w) " Л2 (w); к
Ф (w, с) = У! с/ cos 12л w,
1~ о
причем функция Ф(ю, с) не должна иметь вещественных корней нечетной крат*
ности. Тогда, используя (4.1), можно построить функцию
л7-1
Н' (г) = 2- b'l z~l (4-22>
/=о
(А' - нечетное), вычислить корни А'(г) и построить передаточную функцию Я
(г) искомого минимально-фазового фильтра так, что корни H(z) совпадают с
корнями Я'(г), лежащими внутри и на единичной окружности в комплексной г-
плоскости. Тогда из (4.5) следует, что
|Я(е*2лш)| "ЛИ.
4.3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ АППРОКСИМАЦИИ
4.3.1. Классификация методов
Методы решения тесно связаны с принятыми критериями аппроксимации. В
зависимости от использованного критерия их можно разбить иа три группы.
Первая группа соответствует среднеквадратическому критерию, вторая -
наилучшему равномерному (чебышевскому) критерию и третья - иным критериям
аппроксимации. Первая группа включает методы разложения в ряд Фурье и
наименьших квадратов, вторая - алгоритм Ремеза и некоторые другие
сравнительно редко используемые алгоритмы. Методы последней группы [1.6,
4.4] относительно редко используются при проектировании фильтров и
поэтому ниже не рассматриваются.
4.3.2. Разложение в ряд Фурье аппроксимируемой функции
Этот метод применим для расчета коэффициентов фильтров с линейной ФЧХ и
решения второй задачи для минимально-фазовых фильтров. Если
аппроксимирующая функция имеет вид (4.7), причем фг(ю) =cos I2nw или
фг(ш) = = sin /2ггву, то можно принять
0.5
ci - D ( В (vj) ф[ (ш) dw, (4.23)
о
где D= 2 при /=0; D-4 при />0. Функция B(w) должна быть определена при
всех значениях w, т. е. доопределена в промежуточной полосе от шг.в до
шг.з. Для того чтобы исключить явление Гиббса [4.5], обусловливающее
неустранимую погрешность аппроксимации, достаточно, чтобы после
доопределения функция B(w) была непрерывна при всех значениях w.
Пример 4.5. Рассчитать коэффициенты двух ФНЧ с линейной ФЧХ (см. пример
4.4): ,V=11; А'= 15 при шГп=0,125; т>г.з=0,375 (равнополосные фильтры).
Рассчитать АЧХ каждого из фильтров для 5 равноотстоящих значений та",
начиная сш=0 при шаге Аш=0,125.
117 _____
Доопределяя B(w) в промежуточной полосе:
1 при 0^.ш^юг.о;
В (и?) -
w-w_
Ц) Ц|
г.п г л
при Wr.a^.W^Wr.3',
О При Щг.зг^(r)г?.0,5
ш учитывая, что q>i(w)-cos I2nw, из (4.23) получаем:
с° = шг.п + "'г.з;
2 sin (2 я ш " 2 до " (sin / 2л до" " -sin / 2я ")
Г.П Г.З \ Г.з Г-П/
сг-
I я
(wr.u~wr.Jln
г.п Г.З V
cos I2nw "- cos 12 n ш
Г.8 Г.П
2 w sin 12 nwr -2 to sin/2nto
Г.З г.з г.п г.
In
шри 1> 0.
В табл. 4.1 приведены значения коэффициентов bt фильтров, в табл. 4.2 -
значения АЧХ фильтров.
Таблица 4.1
Таблица 4.2
1 ьг= bN~l-l w Значение А (и-) при N, равном
N=1 1 N=15 11 15
0 -0,0114632 0,0058486 0,000 0,9865485 0,9982456
