Цифровая обработка сигналов: Справочник - Гольденберг Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
довольно ограниченный класс РФ с конечными импульсными характеристиками,
например однородные и триангулярные (см. разд. 7).
Для НФ проще вычисление коэффициентов. Это объясняется тем, что
аппроксимирующая функция Ф(ш, с) [см. ф-лу (4.7)] линейно зависит от
коэффициентов со, Ci,..., ск:
В системах с изменением частоты дискретизации (см. разд.7) применение НФ
сокращает необходимое число арифметических операций.
Недостаток нерекурсивных фильтров по сравнению с рекурсивными состоит в
том, что при одинаковых требованиях к АЧХ, отсутствии требований к
линейности ФЧХ и постоянной частоте дискретизации они требуют выполнения
существенно большего числа операций. Поэтому схемная реализация их
оказывается намного сложнее.
4.2. ФОРМУЛИРОВКИ ЗАДАЧ АППРОКСИМАЦИИ
I, 4.2.1. Требования к аппроксимируемой функции.
Критерии аппроксимации
Целью решения аппроксимационной задачи является определение коэффициентов
fcj передаточной функции фильтра. Аппроксимирующая функция Ф(ш, с) должна
удовлетворять следующим требованиям:
вектор с должен быть связан простой зависимостью с вектором коэффициентов
Ь;
функция Ф(ш, с) должна достаточно просто зависеть от вектора с;
при заданных значениях w должно выполняться (4.6).
Наиболее простой и удобной для решения задачи аппроксимации является
линейная зависимость функции Ф(ш, с) от вектора с:
К
Ф (w, с) = с "р (w) = ^cl(Pl (w)- (4.7)
l=o
Существуют два основных критерия аппроксимации, уточняющие смысл (4.6):
среднеквадратический критерий
J q(w)[B(w)- Ф (w, с)]2йш->-тт (48)
"1
и наилучший равномерный (чебышевский) критерий
max q(w)\B{w) - Ф (w, c)|-"-min. (4.9)
113
Критерии (4.8) и (4.9) могут применяться совместно - каждый для
определенной области частот. Выбор критерия аппроксимации определяется
физическим смыслом задачи.
Общий принцип определения значений весовой функции q{w) состоит в
следующем: чем точнее должно выполняться (4.6) при w=Wj, тем больше
должно быть значение q(Wj). При использовании критерия (4.9 )для
отдельных подынтервалов частот aij^aj^a2j задаются значения ej такие,
чтобы на этих подынтервалах выполнялось неравенство
где R - произвольная константа (нормирующий множитель), общая для всех
подынтервалов.
Пример 4.3. Пусть при использовании критерия (4.9) et=0,l; ег=0,01;
ез=0,001. Примем ?=0,1, тогда
В соответствии с (4.9) и (4.11) определяется оптимальная функция Ф(&\ с)
= = Ф<°)(и), с), удовлетворяющая (4.10).
Критерий оптимальности формулируется следующим образом [4.2]: пусть в
соответствии с (4.9) и (4.11) построены функции Фк-1(ш, с) порядка К-1 и
Фk(w, с) порядка К [см. (4.7)], при этом Фк(&', с) удовлетворяет (4.10),
a (r)i-i(!B, с)-нет. Тогда не существует функции Ф(ш, с) порядка, меньшего
К, удовлетворяющей (4.10), т. е. построенная функция Фи((r), с) среди всех
функций Ф(го, с), удовлетворяющих (4.10), имеет наименьший порядок и
ф(°)(ш, с)=Фн((r), с).
Соотношение (4.11) можно использовать совместно с (4.8). Однако в этом
случае (4.11) следует рассматривать лишь как эвристическую рекомендацию.
Иногда требования к функции Ф(ш, с) задаются в следующей форме:
и определять оптимальную функцию Ф<°)(ш, с) в соответствии со
сформулированным выше критерием оптимальности.
Для этих фильтров аппроксимируемые функции имеют вид: в полосах
пропускания ?(а>) = 1; в полосах задерживания В(ю) =0; в промежуточных
полосах значение B(w) не задано и может быть принято любым в пределах от
? до 1.
|Д(ш)-Ф(ш, с)|г^е}.
(4.10)
Тогда для /-го подынтервала
q(w) = R/e,j%
(4.11)
|1 при "ц ^ ш ^ а21; 9(ш) = |Ю при а12^ш^а22: (100 при а13 ^ ю ^ а23.
Ф(ш, с)<fo.
В этом случае [2.11] следует принять:
(4.12)
4.2.2. Избирательные фильтры с линейной ФЧХ
114
Пример 4.4. Для ФНЧ (рис. 4.4)
B(w) * * ПРИ 0^w^wr.n (полоса пропускания);
1 0 при wr.3^w^0,5 (полоса задерживания).
Апроксимирующие функции имеют вид: при нечетном N
К
Ф (w, c) = ^.eicos/2nw, (4-13)'
1=0
причем K=(N-1)/2, 6i=cK-i/2, 1=0, 1, ..., К-1, Ьк=сй [см. формулу (4.1)];
при четном N
К J?(w;
Ф (w, с) = j] ci cos (2/+ 1) я w, (4.13") I
1=0
причем K=(N-2)/2; Ь1=ск-112, 1=0, 1, ..., К [см. формулу (4.2)].
Vv пп В, 5 w
Рис. 4.4
4.2.3. Равнополосные фильтры с линейной ФЧХ
Если для ФНЧ шг.п+шг.з=0,5 (см. пример 4.4), q(w)=q(0,5-w) (требования к
точности аппроксимации в полосах пропускания и задерживания одинаковы) и
N - нечетное, то при решении задачи аппроксимации в соответствии с
критерием (4.8) или (4.9) часть коэффициентов Ci оказывается известной
заранее [2.10]:
с0 = 0,5; с2г = 0 при 2 ^.21 • (4.14)
Такие фильтры называют равнополосными или полуполосными [2.11], у этих
фильтров N=3+41, 1=0, 1, 2, ..., и реализационные характеристики лучше,
чем у обычных избирательных фильтров с линейной ФЧХ:
L0 = N- 1; Ln = (N-3)/4 1; Fy = (А-3)/4+ 1; Fc=(A+l)/2
(умножение иа с0=0,5 эквивалентно одному сдвигу и не учитывалось при
определении значения Vy).
4.2.4. Преобразователи Гильберта
Преобразователь Гильберта (ПР) [1-6] используетси для получения
