Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гольденберг Л.М. -> "Цифровая обработка сигналов: Справочник" -> 4

Цифровая обработка сигналов: Справочник - Гольденберг Л.М.

Гольденберг Л.М. Цифровая обработка сигналов: Справочник — М.: Радио и связь, 1985. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): cifrovayaobrabotkasignalov1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 97 >> Следующая

1.2.3. Обратное 2-преобразование
Обратное Z-преобраз'оваиие определяется формулой
х (пТ) = Z~l {X (г)} = --Ц-ф х (г) г"-1 d г, (1.7)
I я 1
где С - замкнутый контур в г-плоскости, охватывающей все особенности
функции X[z)zn~l.
Обратное г-преобразование может быть определено путем вычисления
интеграла (1-7), если последний не является расходящимся [1.9, 1.10]:
р i Л**-1 Кг___^fz)l
х(пТ)=Ъ~т,-irr lim ---------------------r~r- . <L8)
Bl (4-1)! Mh) 0,'k-1
k
где F(z) =X(z)zn~1, Zi<!i\ Z2(l'\ ..., zPh - все не равные друг другу
полюсы функции F(z); и-кратность полюса Zkllk>< нричем 0! = 1 и
d°<j>(z)/dz°=(p(z). Существует второй способ вычисления (1.7) [1.9]:
(1.9)
• [Г*<;Гй
"1 L dzn
г1
г=0
Формула (1.8) позволяет получить аналитическую зависимость х(пТ) от п и
рассчитать х(пТ) для любого значения п; формула (1.9) позволяет
рассчитать х(пТ), не вычисляя полюсов функции X(z)zn-*.
Пример 1.3. Пусть Х(г)=г~гЦ(1-0,5z-l)(l-0,25z-!)). Используя (1.8) и
учитывая, что при л=0 полюсы F(z) имеют значения zt=0, гг=0,5, г3=0,25, а
при п>1 - Zt=0,5, z2=0,25, получаем
/0 при п=0;
*{ПГ)-\4.0,25П-1(2П-1 - 1) при п>1.
Пример 1.4. Пусть X(z) =l/(l+0,3z_1-0,2z-a+0,lz-8-O.lz-4). Используя
(1.9), получаем: ж(0) = 1; х(Т) =-0,3; х(2Т)=-0,11.
1.2.4. Преобразование Фурье
Спектром последовательности х(пТ) называют комплексную функцию X(е'"Г):
ОО
е< " 7\ _ V х (П 7*' о- 1 п 01 Т'
О Л/Т
X(elaT)='? х(п Т) е~ п=0
(1,10)
х(пТ)=-~ ^ X (е " Г)е* rdco.
2я -п/7-
Формулы (1.10) представляют собой пару преобразований Фурье. Из сравнения
(1.3) и (1.10) видно, что спектр может быть получен путем подстановки
г=е*'<аГ в Z-образ последовательности. Поэтому из (1.4) и (1.5) пря-
9
МО следуют соответствующие свойства спектров последовательностей. При
Хз(пТ) -Xi(nT)x2(nT) из (1.6) следует соотношение
т п/т
Щ Xs (е'"?) = - j хх (eIer)X2(e' <"-e).r)d0.
(111>
Щ -я/т
Пусть #(пГ)=х(пТ)е1п"1т, тогда из (1.10)
К(е,<вГ) = Х(е'<"-<а')г), (1.12)
т. е. умножение последовательности х(пТ) на последовательность e*n(r)ir
соответствует сдвигу спектра последовательности х(пТ) вправо по оси
частот.
Из (1.10) следует соотношение
Х(е|"г) = Х(е1("+т2я/Г>7')1 (1.13)
т. е. спектр последовательности периодичен по частоте с периодом
Шд = 2я/Г. (1.14)
Для вещественных последовательностей из (1.10)
|Х(в,в7)|=*|Х(е-|вГ)|; arg [X (е1 • т)] = -arg [X (е~ * " т)\,
(1.15)
т. е. модуль спектра вещественной последовательности является четной, а
аргумент - нечетной функцией частоты. На рис. 1.3 показано условное
изображение модуля спектра вещественной последовательности. Спектр
К(е'"т) называют инверсным по отношению к спектру X (е1(r)1) в том случае,
если
У(в,(в7')=Х(е,"(r)-*"д/2)Г)> й = ±1, ±3, ±5,... (1,16)
Пример 1.5. Пусть y(nT)=t~l^nx(nT) = (-1)пх(пТ), Ю1=я/Г, тогда из (1.12)
К ( е* " = X ( е* <"-"/Г)Г)>
т. е. умножение отсчетов сигнала х(пТ) на (-1)" позволяет получить сигнал
у(пТ), спектр которого инверсен по отношению к спектру сигнала х(пТ).
№ыт)\ |х~(еiuT) 1
W^\\^ioT)\ \*№ат)I
7Г/Т ZrtJT со
Рис. 1.3
Основным прямым спектром (прямой частью спектра) Х+(е<<вТ) называют часть
спектра Х(е*"т) сигнала х(пТ), полученного в итоге дискретизации
аналогового сигнала xR(t), расположенную в области нижних частот от 0 до
шд/2=я/Т (см. рис. 1.3).
Основным инверсным спектром (инверсной частью спектра) X-Je1(r)1) называют
часть спектра Х(е!(r)т) сигнала х{пТ), полученного в итоге дискретизации
аналогового сигнала xR(l) и расположенную в области частот от 0 до -
<юж/2=-п]Т (см. рис. 1.3).
10
¦ Сдвинутым прямым спектром (или просто прямым спектром) Хв"(е|"г)
называют часть спектра X (e,"T)i удовлетворяющую условию
Х+ (е' " г) = *? ( е' ("+* "д) 7), (1.17)
Осшсэт/Г; k - целое число.
Сдвинутым инверсным спектром (или просто инверсным спектром) X"k (е'(r)т)
называют часть спектра А'(е1"т), удовлетворяющую условию
Х~ (е' " т) = XI ( е1 ((r)+fe"д)7), (1.18)
Оси<п/Т; k - целое число.
Рисунок 1.3 иллюстрирует (1.17) и (1.18). На этом рисунке показаны модули
основных прямого и инверсного спектров, а также модули некоторых
сдвинутых прямых и инверсных спектров.
Соотношения (1.10) - (1.18) играют весьма важную роль, поскольку основой
решения почти всех задач цифровой обработки является спектральная теория.
Так, формула (1.12) соответствует алгоритму сдвига (переноса) спектра
дискретного сигнала х(пТ) из одной области частот в другую,
который
сводится к умножению отсчетов х(пТ) на отсчеты elne>iT (o>i-
частота, на ко-
торую сдвигается спектр). Из формул (1.13)-(1.15) следует, что изменение
спектра сигнала при ,<о=ш0 возможно лишь в том случае, если Шо=?^<йд/2.
Формула (1-16) определяет понятие "инверсный спектр", а в примере 1.5
рассмотрен алгоритм получения инверсного спектра последовательности
х(пТ).
1.3. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. АЛГОРИТМЫ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ФУРЬЕ
1.3.1. Общие сведения
Пара взаимно-однозначных преобразований:
JV- I
X(k)=Y. x{nT)Wk", = 0 N-1; (1,19)
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed