Цифровая обработка сигналов: Справочник - Гольденберг Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
minSs ^coa^toamai (где юа=2л/а- круговая частота аналогового сигнала), и
дискретизация этого сигнала выполняется с частотой /д такой , что
2 (c)a max!Я ^ 2л ^ 2 Од m/n/W *)"
где 9=1, 2,..., Еп\ Г,
L с)а max-Mamin J
го этот спалоговый сигнал может быть точно восстановлен по отсчетам
соответствующего дискретного сигнала.
Связь между спектром Xa(io)) аналогового сигнала ха(Т) и спектром
X(е'"1') (см. 1.2.4) дискретного сигнала х(пТ)-хв(пТ) определяется
формулой [1.6].
Это выражение описывает так называемое "размножение" спектра аналогового
сигнала при дискретизации.
Согласно теореме Котельникова аналоговый сигнал с ограниченным спектром
может быть точно (без потери информации) преобразован в дискретный сигнал
и затем точно восстановлен по отсчетам этого дискретного сигнала.
Практически любой аналоговый сигнал имеет ограниченный спектр и поэтому
может быть заменен при правильно выбранной частоте дискретизации
соответствующим дискретным сигналом.
1.1.3. Связь между дискретными и цифровыми сигналами
Операция квантования и кодирования (аналого-цифрового преобразования)
состоит в том, что по заданному дискретному сигналу х(пТ) строится
цифровой кодированный сигнал ха(пТ), х(пТ)-+хп(пТ) так, что хп(пТ)
f&x(nT)r п-О, 1, ...
Операция цифро-аналогового преобразования состоит в том, что по заданному
цифровому кодированному сигналу *ц(пГ) строят дискретный сигнал х(пТ),
ха(пТ)-+х(пТ) так, что х(пТ) =хц(пТ).
Операции квантования и кодирования и цифро-аналогового преобразования не
являются точно взаимно обратными, поскольку квантование в общем •случае
выполняется с неустранимой погрешностью. Как правило, считают, что
* Запись ?ц[Л] означает "целая часть числа А" (например, ?ц[8, 6] = =8).
аналого-цифровые преобразователи (АЦП) выполняют операции дискретизации,
квантования и кодирования, а цифро-аналоговые преобразователи (ЦАП)-
операции цифро-аналогового преобразования и восстановления [1.7].
Переход от дискретного сигнала к цифровому, т. е. операция квантования,
осуществляется в общем случае неточно. Если для представления каждого
отсчета используется достаточно большое число двоичных разрядов, то
погрешность квантования, оказывается малой и дискретный сигнал (и,
следовательно, соответствующий аналоговый сигнал) мсркет быть заменен
определенным цифровым сигналом. Практически число разрядов, которое могут
обеспечить современные АЦП при необходимой частоте дискретизации,
достаточно для получения цифровых телевизионных сигналов, цифровых
речевых сигналов в телефонии и радиовещании.
1.1.4. Дискретная дельта-функция
Дискретная дельта-функция б ((я-т)Т) пределяется следующим образом (рис.
1.2, /я=3):
1 при п=тп\
6((п-т) Т) =
.0 при пфтп.
Используя дискретную дельта-функцию, любую последовательность (решетчатую
функцию) (х(я7')} можно представить как
{х (пТ)} = х (m Т) б ((я-т) Т). (1.2)
т=0
Пример 1.1. Пусть х(0) = 1, х[Т) =-2, х(2Г) =2,5,
х(пТ)=0 при я^З. Тогда из (1.2)
,
г ггзг ьт ь
{х (пТ)} - 6 (пТ)-26 ((я- 1) Г+ 2,56 ((и-2) Т). Рис. 1.2
1.2. 2-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
1.2.1. Прямое 2-преобразование
' Прямое 2-преобразование Х(г) последовательности х(пТ) определяется
формулой
X (г) = 2 {х (яТ)} = V. х (пТ) г~п. (1.3)
п=0
Функцию X(z) называют 2-образом последовательности х{пТ).
Преобразование (1.3) имеет смысл для тех значений комплексной переменной
г, при которых ряд (1.3) сходится.
Пример 1.2. Пусть х(0) =2, х(Т) =-1, х(2Т)-3, х(ЗТ) = 1,5, х(пТ) =0 при
я>4. Тогда из (1.3)
X (г) - 2-г-1 + 3z~2 + 1,5 г"3.
В табл. 1.2 приведены ряд последовательностей и соответствующие им
2-образы [1.8].
С помощью 2-преобразования весьма удобно записывать различные формы
выражений для передаточных функций и тем самым получать различные
Таблица 1.2
х(пТ] Z{x{nT)}
l/d-z-1)
(-1)" 1/(1+z-')
п N 1 г 1 1* N
п2 (z-"+z-2)/(l-z-1)2
ап 1
1-az-1
пап~1 - z-'/(l-az-1)2
a" sin пт az-1 sin x 1-2az-'cosT+a2z-2
ап cos пх li-az-1 cost 1-.9/гг-1 ros 'r-*-''2''-2
формы реализации цифровых фильтров (см. 2.2). Кроме того Z-преобразова-
ние является основным способом расчета выходных сигналов дискретных в
цифровых фильтров при сложных входных воздействиях.
1.2.2. Основные свойства прямого 2-преобразования
Пусть xi(nT), xz(nT), xs(nT)-последовательности; Zi(z), Xz(z), Xs(z)-
2-образы этих последовательностей; ci, cz - коистаиты.
Если х3 (п Т) = сг хг (п Т) + с2 х2 (п Т), то Х3 (г) = сх Хг (z) + с2 Xz
(г)
(линейность). (1-4>
Если х2 (п Т) = хх ((п -т)Т), то Х2(г) = х1(-mT) + x1((-m+l)T)z~1 -±
+.
+ (-Т) г~(m-I)-f z~mXx (z). 1.5)
При xx( -mT)=x1 ((-m+l)T) = ... =*i( - T) = 0 X2 (z) = z~m Xx (z)
(теорема сдвига)
Если xs (пТ) = xx (пТ) x2 (пТ)то
1
Х3 (г) = " ~ 1' ф-Уг (о) Х2 (z/v) о do,
/• JI 1
(1.6)
где С - замкнутый контур в комплексной "-плоскости, охватывающей все
особенности функции Xi(v)Xi(zlv)v~l, лежащие в окружности с центром в
точке О и с радиусом, равным |z| (теорема о комплексной свертке).
