Точные науки в древности - Гохман Е.В.
Скачать (прямая ссылка):
находившимся под влиянием как греческих, так и вавилонских идей. Поэтому
проблемы, свяванныес историей астрономии, гораздо
т
6 Wimi зрения логйкй должны быть установлены первымй, были первыми и
хронологически. Фактически греческие историки поступали точно так же, как
и современные историки, когда они не располагают первоисточниками: они
восстанавливали последовательность событий в соответствии с требованиями
современной им теории. Сегодня мы знаем, что все те фактические
математические сведения, открытие которых приписывали ранним греческим
философам, были на самом деле известны за много столетий до них, хотя и
нет свидетельств никакого формального метода, который математики
четвертого столетия назвали бы доказательством. Единственное, что нам
остается, - это пригнать, что мы не имеем никакого понятия о том, какова
была истинная роль традиционных героев греческой науки. Но мне кажется
характерным, что Архит из Тарента мог утверждать, что не геометрия, а
только арифметика может дать удовлетворительные доказательства. Если
таково было мнение ведущего математика среди поколения, непосредственно
предшествовавшего рождению аксиоматического метода, то совершенно
очевидно, что ранняя греческая математика не могла сильно отличаться от
математики героно-диофантова типа.
Общепринято также мнение, что существенный поворот в развитии математики
связан с вменением последствий того арифметического факта, что нельзя
найти два таких целых числа, квадрат отношения которых равен 2.
Геометрическое следствие, что диагональ квадрата не может быть "измерена"
его стороной, несомненно, вызвало серьезные споры об отношении между
геометрическим и арифметическим доказательствами. "Парадоксы", касающиеся
непрерывности как времени, так и пространства, связали эти вопросы со
всей проблемой определения площадей и объемов. Одним ив выходов могло
быть допущение в некотором роде атомистической структуры геометрических
объектов, при помощи которого задача об определении площади или объема
сводилась, хотя и не совсем ясным образом, к подсчету дискретных
элементов, "атомов".
Реакция математиков против спекуляций такого рода, по-видимому, привела к
двум основным следствиям. Прежде всего, нужно было точно условиться о
системе основных предпосылок, из которых одних следовало вывести все
остальное; это привело к развитию строго аксиоматического метода. Во-
вторых, стало ясно, что геометрические объекты следует рассматривать как
данные сущности, так что целочисленные отношения выступают как частный
случай лишь второстепенного значения; это привело к проблеме перевода
классических арифметических и алгебраических сведений на язык геометрии.
Результатом явилась знакомая нам "геометрическая алгебра" греческой
математики. Оба эти существенных шага следует полностью отнести в актив
греческих математиков.
Положение меняется, когда мы ставим вопрос о происхождении тех
математических соотношений, которые были объединены в
150
систематический свод геометрически доказываемых законов. Все, что прямо
связано с теорией и классификацией иррациональных величин, конечно, имеет
греческое происхождение; это же относится и к строгой теории приемов
интегрирования. Что же касается элементарной теории чисел, то она могла
быть, а могла и не быть в конечном счете основана на значительно более
старом восточном материале. Я не сомневаюсь в том, что всякая связь с
именем Пифагора является чистой легендой и не имеет никакой исторической
ценности.
Но наиболее интересным вопросом мне кажется проблема возникновения
"геометрической алгебры". Мы видели, что вавилонский подход к уравнениям
второго порядка состоял в сведении их к "нормальной форме", где две
величины, х и у, Нужно найти по их произведению и сумме Д У ^ \
или разности. Кажется знаменательным, что геометрическая формулировка
этой задачи приводит непосредственно к центральной проблеме
геометрической алгебры, проблеме, происхождение которой иначе довольно
трудно понять.
Эта задача, называемая "приложением площади", в простейшей своей форме
состоит в следу- Рис. 22.
ющем. Даны площадь А и отрезок fc; построить прямоугольник площади А,
одна из сторон которого направлена по отрезку Ъ таким образом (рис. 22),
чтобы прямоугольник равной высоты и длины Ъ получался из построенного
прямоугольника добавлением или удалением квадрата. Равносильность этой
странной геометрической задачи с вавилонским приведением к "нормальной
форме" сразу станет очевидной, если мы сформулируем задачу алгебраически.
В обоих случаях обозначим через х и у стороны прямоугольника. Тогда нам
дано, что
ху = А.
В нервом случае квадрат должен быть снаружи; его стороны равны у, и мы
должны потребовать, чтобы
х + у = Ь.
Во втором случае квадрат находится внутри прямоугольника со стороной Ъ;
поэтому мы будем иметь
х - у -- Ъ.
Это и есть две нормальные формы (см. стр. 55).
Делались попытки объяснить задачу "приложения площадей" независимо от
