Оптика - Годжаев Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
сферического зеркала равно половине радиуса его кривизны. При R = оо
получим йх = - й2, т. е. изображение в плоском зеркале получается за ним,
на том же расстоянии от зеркала, на котором находится сам предмет.
§ 3. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА-ГЕЛЬМГОЛЬЦА
Теорема Лагранжа - Гельмгольца. В предыдущем параграфе мы построили
изображение светящейся точки на оси с помощью одной сферической
преломляющей поверхности. Построим теперь изображение не точки, а
светящегося малого отрезка А2Вх, перпендикулярного продолжению оси OS
(рис. 7. 10). Построение изображения будем производить параксиальным
пучком света. В случае параксиальных лучей тангенсы углов и и2,
определяющие максимальное раскрытие (апертуру) соответственно падающих на
преломляющую поверхность и сопряженных им изображающих пучков, можно
заменить значениями самих углов.
Выясним, в каких собтношениях находятся предмет и его изображение, если
построение производится параксиальным пучком.
Обозначим показатели преломления сред соответственно слева и Справа от
преломляющей поверхности через пг и п2, длину отрезка - через Ух, длину
изображения - через у2, расстояния от ЛхВх и А2В2 до преломляющей
поверхности - соответственно через йх и й2, >глы падения и преломления -
через i и г.
Из A и A A2B2S соответственно имеем:
tgi = //x/flx, tg r = y2/a2.
Ввиду малости длин ух и у2 тангенсы углов падения и преломления можно
заменить синусами соответствующих углов. Принимая во внимание также закон
преломления света, получим
tg I/tg г = sin t'/sin г = (ух/ах) (а2/у2) = п21пг. (7.9)
176
С другой стороны, исходя из треугольников Axr\S и A2PS, а также из
условия параксиальности имеем
DC Р<? Р<ч PC
Отсюда
aj/a2 = M 2/щ. (7.10)
Учитывая (7.10) в (7.9), получим
у1п1и1 = угпгщ. (7.11)
Это соотношение носит название теоремы Лагранжа - Гельмгольца.
Если апертура пучка так велика, что параксиальность нарушается, тогда
вместо теоремы Лагранжа- Гельмгольца пользуются условием синусов Аббе:
yxtix sin % = у2п2 sin и2.
Выводы из теоремы Лагранжа - Гельмгольца. Проанализировав теорему
Лагранжа-Гельмгольца, можно получить из нее следующие выводы:
1. Поскольку отношение а21ах в пределах апертуры параксиальных лучей
остается постоянным при всех значениях углов их и м2. т°. как следует из
теоремы Лагранжа- Гельмгольца, т. е.
у21ух = ("i/n2) ("1 /Щ) = ("1й2) (rtifli) = const,
т. е. увеличение (отношение величины изображения к величине предмета)
малого предмета, расположенного около оси, сохраняется неизменным для
всех лучей параксиального пучка. Это говорит о том, что изображение
рассмотренного предмета передается параксиальным пучком без изменения.
2. Заданный световой пучок с помощью оптических систем * можно
преобразовать в другой пучок только в рамках условия Лагранжа -
Гельмгольца. Отсюда следует, что никакая оптическая система не может
увеличить яркость светового пучка. Исходя из этого, теорему Лагранжа-
Гельмгольца часто называют одним из видоизменений принципа сохранения
энергии.
В цитированной книге Г. Г. Слюсарева в этой связи говорится: "Закон
Лагранжа - Гельмгольца, как и закон Клаузиуса, может быть назван также
законом постоянного потока, и в таком виде он является не чем иным, как
законом сохранения энергии, выраженным с помощью характеристики
оптических систем". Это заключение Г. Г. Слюсарева справедливо, если не
имеет места обмен энергией между световыми пучками и оптической системой.
В действительности до появления лазерных источников света не существовали
оптические системы, способные увеличить яркость пучка света. Советский
ученый И. И. Собельман ** в одной из статей показывает,
* См.: Слюсарев Г. Г. О возможном и невозможном в оптике. М., 1957, § 7,
с. 51-53, его же Геометрическая оптика, 1946, § 4 гл. VI.
** УФН, т. ИЗ, вып. 4, 1974.
177
что если имеется обмен энергией между световыми пучками и оптической
системой, то возможно увеличение яркости световых пучков. Так, например,
в лазере на рубине осуществляется преобразование потока излучения
ксеноновой лампы в лазерный пучок огромной яркости. При этом уменьшение
энтропии светового потока компенсируется возрастанием энтропии
"оптической системы".
Линейное и угловое увеличения. Отношение линейного размера изображения
(у2) к линейному размеру предмета (г/i) называется линейным (или
поперечным) увеличением (р):
Р = Уг/Уь
Как следует из теоремы Лагранжа - Гельмгольца,
Р = (njriz) (й2/йj).
Ввиду того, что пг и "3 для преломляющей системы являются положительными
величинами, то очевидно, что знак увеличения определяется знаком
отношения а21ах. Если начало отсчета совместить с точкой S и считать, так
же как и раньше, отрезки, откладываемые от S справа, положительными, а
слева - отрицательными, то в случае действительного изображения ах > 0,
аг <0, и следовательно, р <0. Если изображение мнимое, то а2 и а2 имеют
одинаковый знак и р > 0.
Плоскость предмета (в нашем случае АхВ,) и плоскость его изображения
(А2В2) называются сопряженными плоскостями по отношению к сферической
