Оптика - Годжаев Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
закате распространяются не по прямой линии, а по пути с более крутым
наклоном в плотных слоях атмосферы, сокращая тем самым свой путнг в этих
слоях. Поскольку предмет всегда виден в направлении прямолинейного
продолжения луча, исходящего от него, то при восходе мы наблюдаем Солнце
на несколько минут раньше, а при закате Солнце остается видимым в течение
нескольких минут после его захода, "Удлинение" дня за счет этих явлений
составляет 7-8 мин.
Мираж. Летом температура воздуха над поверхностью моря ниже, чем в более
удаленных от его поверхности точках; другими словами, температура воздуха
по мере удаления от поверхности моря увеличивается. Нагревание воздуха
приводит к его расширению, а расширение, в свою очередь, - к уменьшению
показателя преломления. Так как свет в теплых слоях проходит быстрее, чем
в холодных, то в результате этого он распространяется по кривой
траектории с наименьшим временем. Вот почему путь светового луча от
некоторого плавающего летом в море предмета, например, лодки,
искривляется и поэтому лодку мы видим как бы висящей
* Плоскость, проведенная через точки А и В перпендикулярно границе
раздела, называется плоскостью падения.
** Здесь принято, что g и Т являются постоянными.
р = р0е кт >
170
в воздухе (рис. 7.4, а). По этой же причине летом, когда температура
воздуха по мере удаления от поверхности земли уменьшается, на шоссейной
дороге мы видим "воду" (в действительности - голубое небо), которое
исчезает при приближении к данному месту (рис. 7.4, б).
Дорога
S)
Стационарное значение времени. Расположим точечный источник света в одном
из фокусов эллиптического зеркала, например в точке О (рис. 7.5). Свет,
исходящий из этого фокуса, после отражения от эллиптического зеркала
независимо от положения точки М на поверхности эллипса всегда попадает в
другой фокус Ot. Это связано с тем, что для эллипса сумма расстояний
любой точки на его поверхности от двух фокусов является постоянной
величиной, т. е. rx + r2 = const.
Равенство полных длин путей приводит к равенству времен, что является
условием стационарности.
Аналогичное явление имеет место и при отражении параллельного пучка света
от параболического зеркала (рис. 7.6). Падающие на поверхность
параболического зеркала параллельные лучи света после отражения
собираются в одну точку О, называемую фокусом. Легко доказать, что при
этом все лучи проходят одинаковые пути.
Проведем плоскость MN, перпендикулярную направлению параллельных лучей.
До этой плоскости все лучи проходят одинаковые пути. Согласно свойству
параболической поверхности должно иметь место условие
ААХ + АхО = ВВг + ВхО = ССХ + СхО = - DDL + DxO = ЕЕх + ExO = FFt + Fx0.
Так как все лучи распространяются в одной и той же среде, то все пути
(AAiO, ВВхО, ССхО и др.) проходятся светом за одинаковое время.
Фокусирующее свойство параболического зеркала позволяет использовать его
при наблюдении звезд. Вот почему в телескопах широко пользуются этими
зеркалами,
171
А В С д Е F
М N
0
/ я F,
Рис. 7.6
Выводы. Исходя из вышеизложенного, приходим к выводу, что принцип Ферма
позволяет получить следующие законы и положения геометрической оптики:
1. Закон прямолинейного распространения света в однородной среде.
2. Законы отражения и преломления на границе раздела двух сред.
3. Определение пути света в неоднородной среде.
Легко убедиться, что из принципа Ферма также вытекает закон обратимости
светового пути. В действительности перемена пределов интегрирования в
выражении (7.1) не нарушает ею справедливость, так как если вариация
интеграла равна нулю при интегрировании от А до В, то она равна нулю и
при интегрировании от В до А.
§ 2. ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА НА СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Нулевой инвариант Аббе. Рассмотрим сферическую поверхность EF с радиусом
кривизны R, разделяющую среды с показателем преломления пх слева, п2
справа (рис. 7.7). Проведем прямую линию MN, проходящую через центр О и
некоторую точку А (так называемую вершину рассматриваемой поверхности).
Расположим точечный источник света Si на этой прямой на расстоянии ах от
вершины поверхности А, Положим, что некоторый луч StB, исходящий из
источника Sx, после преломления на поверхности EF пересекает прямую MN в
точке S2, отстоящей от точки А на расстоянии а2. Чтобы точка S2 стала
изображением источника Slt лучи, исходящие от точечного источника Sx
после преломления на поверхности EF, должны пересекать прямую MN в одной
и той же точке S2. Это, согласно принципу равного оптического пути *,
означает, что оптические длины реального пути всех лучей, исходящих от 5Х
и доходящих до точки S2 после преломления на сферической поверхности,
должны быть равны.
Рассмотрим пучок лучей, проходящих вблизи от оси МN и удовлетворяющих
условию SXB SXA. Такие лучи называют паракси*
* См.: Борн М., Вольф Э. Основы оптики, с. 160.
172
альными. Согласно нашему условие, для всех лучей параксиального пучка
света, исходящего из точечного источника Sx под углом 2а, имеем
