Оптика - Годжаев Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
луча нужно разделить на такие маленькие участки, в пределах каждого из
которых показатель преломления можно считать постоянным. В этом случае
* См.: Дитчберн Р. Физическая оптика. М., "Наука", 1965, гл. VI, с. 172.
167
оптическая длина пути (АВ) может быть представлена в виде (рис, 7.1)
(АВ) = (/) = (Л/,) + (Щ +... + (М") =
k
= til All А~ П-2 Д^2"Ь ¦ • • 4~ nk = Д-i-
о
В пределе сумма перейдет в интеграл:
в
(AB) = (l) = \ ndl.
А
Обозначим время, необходимое для распространения света на расстояние dl,
через dt. Запишем:
где v - скорость распространения света в среде с показателем преломления
п. Время, необходимое для распространения света из точки А в точку В,
равно
в в в
Согласно принципу наименьшего времени Ферма, вариация интеграла, которым
определяется время распространения света, должна обращаться в нуль:
в в
8t = 8 J ~ = Ь J -^ = 0. (7.1)
А А
Это и есть математическое выражение принципа Ферма.
Выражение (7.1) в действительности является более общим, чем принцип
Ферма, сформулированный в своем первоначальном виде. Дело в том, что
условие 6^ = 0 не является условием только минимума; это есть условие
экстремума - минимума, максимума или стационарности. Следовательно, свет
при распространении между двумя точками может "выбирать" не только путь,
требующий минимального времени прохождения, но также путь, требующий
максимального времени, либо пути, требующие одинакового времени. Все эти
три случая станут более ясными на следующих конкретных примерах.
Закон прямолинейного распространения света в однородной среде как
следствие принципа Ферма. Ввиду того что минимальное расстояние между
двумя точками есть прямая линия, соединяющая эти точки, прямолинейное
распространение света в однородной среде является прямым следствием
принципа Ферма.
Вывод закона отражения. Из точки А направим луч света на зеркальную
поверхность (рис, 7,2), Отраженный от зеркала луч дос-
168
тигает точки В, Исходя из принципа Ферма, определим путь, требующий
минимального времени распространения из точки А в точку В. Опустим
нормали из точек А и В к зеркальной поверхности. Введем обозначения: АхО
= х, AXBX = а - const, ААХ = hlf ВВХ - h2. Время, требуемое для
распространения света из точки А в точку В с условием отражения от
зеркальной поверхности, равно
, О В У , У Ы-\-{а-
I 7! 71 * 71
t=
АО
V
~хг
где v - скорость распространения света. Как видим, время распространения
света зависит от положения точки О, т. е. от переменной л:. Тогда
согласно принципу Ферма имеем ,, 1 х . 1 а-х 1 . . . ,
.
Л = 7 Ж + Т1Ж= ^(sint + sinO^O.
Отсюда sin i + sin ix = О и i = - ix. Знак минус показывает, что углы i и
ix расположены по разным сторонам нормали к поверхно-
Рис. 7.3
сти. Следовательно, как вытекает из принципа Ферма, минимальным является
путь, при котором имеет место известный нам закон отражения.
Вывод закона преломления. Пусть имеем две граничащие прозрачные среды с
показателями преломления пх и п2 (рис. 7.3). Луч, вышедший из точки А
первой среды, после преломления на границе раздела будет следовать по
некоторой прямой ОВ. Докажем, исходя из принципа Ферма, что луч света из
точки А в точку В распростра-
sin i п9
нится в соответствии с законом преломления -j-- = -.
Как и в предыдущем случае, обозначим: АхО = х, АХВХ = а = = const, АА-! -
hlt ВВХ = h2. Тогда время, требуемое для распространения света из точки А
в точку В, равно
, У hj + x* . Vh'jyia-х)2 X -" -- "] •
ч ч
где vx и v2 - скорости распространения света соответственно в первой и во
второй средах. Время распространения света зависит от положения точки О,
Согласно принципу Ферма, луч света из все-
169
возможных путей (АО В, АОгВ, А02В и т. д.) "выберет" тот, который требует
минимального времени распространения, т. е. будет реальным тот путь, для
которого имеет место dt = 0. Следовательно,
I Л 1 и----Л Ы11
~ ОВ = Лц
1 х 1 а - х sin t
Отсюда
sin i/sin г - vxlv% = n2/"i.
Поскольку любой путь от точки А до точки В, лежащий вне плоскости,
проведенной через точки А и В нормально к границе раздела *, проходится
светом за большее время, чем путь АОВ, лежащий в плоскости падения, то из
принципа Ферма следует: путь, требующий минимального времени, лежит в
плоскости падения, т. е. падающий и преломленные лучи лежат на одной
плоскости - плоскости падения. Аналогичное положение имеет место и при
отражении света от границы раздела двух сред.
"Увеличение" длительности дня. "Удлинение" дня на 7-8 мин также
объясняется принципом Ферма. Как известно, с удалением от земной
поверхности происходит уменьшение атмосферного давления согласно
барометрическому закону **.
где р0 - давление на земной поверхности, р - давление на высоте г, k -
постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура, g - ускорение
свободного падения, m - средняя масса молекул воздуха. Подобным же
образом происходит уменьшение показателя преломления воздуха по мере
удаления от земной поверхности. Поэтому солнечные лучи на заре и при
