Оптика - Годжаев Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
случае двух щелей впд""--^т вочные минимумы.
ичевидио, что добавочные минимумы с нулевыми значениями интенсивности
Рис. 6.24 будут наблюдаться в тех направле-
ниях, которым соответствует разность хода А/2, ЗА/2, 5А/2, ... лучей,
посылаемых от соответственных точек (например, крайних левых М и Мг обеих
щелей), т. е.
M1/7 = MM1sincp = (2m+l) ^, где т = 0, 1, 2, ...
Действие одной щели будет усиливаться другой, если M^F = ММ1 sin ф = тк.
Такие максимумы будем называть главными.
Обозначив сумму а + b через d, перепишем условия добавочных минимумов и
главных максимумов в виде:
<isin ф = (2/n+1) • А/2 (добавочные минимумы), (6.21) dsin(p = mX
(главные максимумы). (6.22)
Как мы знаем, прежние минимумы наблюдались в направлениях, определяемых
условием
?> sin(p = (m+1) А (прежние минимумы). (6.23)
Дифракция света от многих щелей. Дифракционная решетка.
Из (6.21) и (6.23) видно, что в случае двух щелей между соседними
главными максимумами наблюдается один добавочный минимум. Проведя
аналогичные рассуждения, легко убедиться, что для трех щелей между
соседними максимумами наблюдаются два добавочных минимума и т. д.
Очевидно, что в случае_N щелей число добавочных минимумов, наблюдаемых--
между соседними главными максимумами^ будет N - 1.
- Система"параллельных щелей равной ширины, разделенных одинаковыми
непрозрачными промежутками, называется дифракционной решеткой. Сумму
ширины прозрачной (Ь) и непрозрачной (а) полос принято называть
постоянной решетки (d):
d = a-\-b,
144
J
В такой решетке прозрачность (амплитудный коэффициент пропускания) т
вдоль решетки будет меняться скачками от т = 0 до т = 1 (рис. 6.25).
Как и в случае фраунгоферовой дифракции от одной щели, распределение
интенсивности для дифракционной решетки в зависимости от угла дифракции
можно также изобразить графически и аналитически. Все колебания, идущие
от разных щелей в направлении ф = 0, имеют одинаковые амплитуды и фазы
колебания. Следовательно, все векторы амплитуд будут направлены вдоль
одной линии и результирующая амплитуда будет
Е0 = N Еоъ
где E0i - амплитуда колебания, соответствующего одной щели.
' Интенсивность в направлении ф = О будет
/о = cN^Eqi,
гдес-коэффициентпропорциональности.
Как видно, в случае дифракции от N щелей интенсивность в направлении ф=0
растет прямо пропорционально квадра- Рис- 6-
ту числа интерферирующих лучей N.
Минимум будет наблюдаться в том случае, если колебания, идущие от первой
и последней щелей, будут по фазе отличаться на 2я, т. е. N8 = 2п (8 -
разность фаз колебаний от соответствующих участков соседних щелей).
Отсюда 8 = 2n!N. Так как б = = 2л1Х-М (где А/-разность хода двух лучей от
соответствующих участков соседних щелей), то А/ = X/N. Это позволяет
определить условия добавочных минимумов, расположенных между главными
максимумами:
dsin ф = mX-\-pX/N, (6.24)
где р = 1, 2, ... , N - 1.
Так как при переходе от главного максимума к соседнему минимуму разность
хода меняется на X/N, то имеет место A (d sin ф) = = X/N. Отсюда d cos
фАф = X/N и угловая ширина главного максимума Аф = X'Nd cos ф. При малых
углах дифракции cos ф ~ 1 и Аф = X/Nd. Следовательно, при d = const с
увеличением числа щелей помимо роста интенсивности происходит резкое
сужение главных максимумов, в результате чего расплывчатые максимумы
превращаются в узкие, разделенные темными промежутками.
Распределение интенсивности. Несложные вычисления, аналогичные
вычислениям интенсивности для дифракции от одной щели, дают для
дифракционной решетки с N щелями *
* См,- Калитеевский Н. И, Волновая оптика. М., 1971.
145
JlO • JitZ • r
где "=-jj-sincp, a = -sinф и 10- интенсивность света, излучаемого одной
щелью в направлении ср = 0. Множители
/ sin Nа\2
и I--. ¦¦ 1 в (о.25) выражают соответственно распределение интенсивности
для дифракции каждой щели и интерференцию между N пучками, исходящими от
всех щелей. Зависимость члена
от угла дифракции изучена подробно. Рассмотрим теперь зависи-( sin Л/а\з
гт
мость от ср члена ( sjn \ . При разности хода лучей, исходящих
из двух эквивалентных точек соседних щелей, равной целому числу длин
волн, происходит взаимное усиление световых волн. Полученные таким
образом главные максимумы наблюдаются при d sin ф = тк (т = 0, 1, 2,
...). Легко видеть, что при этих значениях разности хода а = пт, т. е.
sin Na = 0 и sin а = 0. Это значит, что главные максимумы возникают при
удовлетворении двух условий: sin Na = 0 и sin а = 0. Как мы уже знаем,
между двумя главными максимумами возникает N - 1 минимумов, для которых
должны выполняться следующие условия: sin Na = 0,
но sin а Ф 0. Известно, чго lim ( sin Na) = N. Учитывая это и
'мп а-> 0 \ sja a J
подставляя в (6.25) sin ср = mk/d для т-то главного максимума, имеем
т г / sin и \2 . 9{ Ь\ ,"пг .
= J (6.25а)
Следовательно, при дифракции света на решетке из N правильно
расположенных щелей интенсивность растет не прямо пропорционально числу
щелей, а прямо пропорционально квадрату этого числа. Это есть следствие
