Оптика - Годжаев Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
минимумами), перпендикулярно щели.
Фраунгоферова дифракция от одной щели. Рассмотрим дифрак-пиюдлоской
монохроматической световой волны от щели шириной b (рис. 6.17). Для
простоты будем считать, что световая волна длиной X падает нормально к
плоскости щели. Параллельный пучок света, пройдя через щель на
непрозрачном экране Эъ дифрагирует под разными углами в правую и левую
сторону от первоначального направления падения лучей. Линза Л собирает
параллельные пучки дифрагированных лучей в соответствующих Точках экрана
Э%,
136
расположенного в ее фокальной плоскости Недифрагирующие лучи соберутся в
точке^о, а лучи, дифрагирующие влево под углом ср, соберутся в Дочке Дф.
Задачу дифракции в данном случае можно решить двумя методами -
графическим и аналитическим.
Так как параллельный пучок света падает нормально к плоскости щели, то
фронт волны будет совмещен с плоскостью щели, т. е. все точки фронта
волны в плоскости щели будут колебаться с одинаковой фазой. Разобьем
фронт волны в плоскости щели от точки М до точки N на параллельные краям
щели полоски равной ширины. Каждая полоска будет играть роль вторичного
источника. Вследствие идентичности полосок амплитуды волн в плоскости
щели будут одинаковыми. Равенство фаз во всех точках щели, следовательно
и для всех полос, было отмечено выше. Все это упрощает
а}
(р=0
Рис. 6.18
решение задачи дифракции в обоих случаях. Такие условия выполняются и для
лазерного излучения.
Графический метод. Выражая амплитуды каждой полоски векторами равной
длины, найдем результирующую амплитуду, пользуясь графическим методом
сложения амплитуд. Результаты при разных углах дифракции ср представлены
на рис. 6.18. Как видно из рис. 6.18, а, при ф = 0, т. е. в точке В0,
амплитуда (Е0) будет максимальной. В направлении, при котором крайние
полоски отличаются по фазе на л (т. е. разность хода NF между крайними
лучами равна К/2), результирующая амплитуда равна Кф = 2Е0/л.
Действительно, как видно из диаграммы (рис. 6.18, б, в), в этом случае
результирующая амплитуда равна диаметру полуокружности Е0, т. е. ?0 =
л;?ф/2. Как видно из рис. 6.17, это направление определяется из условия ф
= arcsin К/2Ь.
В случае, когда разность хода между крайними лучами (FN) равна К, т. е.
фазы крайних полос вследствие замыкания окружности отличаются на 2л,
результирующая амплитуда обращается в нуль. Это направление определяется
как ф = arcsin k/z. Амплитуда равна нулю во всех случаях, когда разность
хода между крайними лучами равна К, 2К, 3К, 4Х и т. д.
137
Аналогично, при NF - О, К 2, ЗЯ/2, 5Я/2 и т. д. наблюдаются максим} мы,
причем интенсивности нх падают с увеличением угла дифракции.
Аналитический метод. Ширину элементарной полоски обозначим черед dx.
Возмущение, вызванное каждой полоской в плоскости' щели, описывается
уравнением dE0 = cdx cos со/, где с - постоянная величина. Если амплитуду
падающей волны, соответствующей всей ширине щели, обозначить через Е0, то
очевидно, что ь
Е0 = $ cdx - cb, откуда с = Е0/Ь. Следовательно, о
dEu = EJb dx cos со/. (6.15)
Для нахождения результирующей амплитуды в любой точке экрана наблюдения,
определяемой \ глом дифракции ср, необходимо знать распределение фаз всех
колебаний, приходящих в эту точку. Поскольку линза не вносит добавочной
разности хода, то распределение фазы в точке Дф будет таким же, как в
плоскости MF, образующей с плоскостью щели угол ср. Поэтому требуется
найти распределение фаз для элементарных полос в плоскости MF.
Рассмотрим элементарную полоску, расположенную на расстоянии х от точки
М, т. е. от левого края щели MN. Для лучей, дифрагированных под углом ф,
средняя точка этой полоски перемещается в точку /д плоскости MF.
Возмущение, обусловленное произвольной полоской шириной dx, расположенной
на расстоянии х от точки М в плоскости MF, выразится уравнением
dE = - ° dx cos (со/ - kNJJ. (6.16)
Как следует из выражения (6.16), вследствие добавочной сравнительно с
точкой М разности хода лучей возникает разность фаз между полоской точки
М и полоской, находящейся на расстоянии х
2л
(в плоскости MF) от неё, равная -j- NiFl = kNiF^ Согласно рис. 6.17,
имеем NiFx = х sin ф, следовательно,
?
dE - ~ dx cos (ой - kx sin ф). (6.16а)
Вследствие когерентности возмущений от всех полосок нахождение
результирующей амплитуды в произвольной точке Дф сводится к решению
задачи интерференции, т. е. сложению влияний всех полосок с учетом
амплитуды и фазы. Поэтому проинтегрируем выражение (6.16а) по всей ширине
щели, т. е. от нуля до Ь: ь ь
Е = ^ dE - cos (со/ - kx sin ф) dx =
о о
(kb \
sin sm ф , ,, .
= Д0 -------------- cos (со/ - sin фj. (6.17)
sln Ф
138
(6.17) есть выражение результирующего возмущения в точке Вф с амплитудой
kb
sm ф j sin ^ ^ sm ф]
?ф - Е0 -В0 -ь ' • (6.17а)
SU1 Р S1I1 Ф
2. К
Так как интенсивность есть величина прямо пропорциональная квадрату
амплитуды, то распределение интенсивности на экране наблюдения в
зависимости от угла дифракции имеет вид
