Оптика - Годжаев Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
следует учитывать граничные условия, зависящие от конкретных физических
свойств вещества, из которого изготовлен экран.
Вычисление результирующей амплитуды. Рассмотрим распространение света от
S к В, когда между ними расположен непрозрачный экран с отверстием
радиуса р (рис. 6.2). Результирующее возмущение в точке В находится
сложением всех возмущений типа (6.1) по поверхности а. В общем случае эта
задача связана с определенными трудностями. Решение задачи упрощается,
если воспользоваться так называемым методом зон Фдшеля.
Согласно этому методу, фронт волны (светящаяся поверхность) делится на
кольцевые зоны с центром в М0 (точка пересечения прямой линии SB со
вспомогательной поверхностью сг) так, чтобы прямые, соединяющие края
кольцевых зон с точкой наблюдения В, отличались на Я/2 (рис. 6.1), т. е.
МХВ - М0В = М2В - МХВ = М3В - М2В =... = Я/2. (6.2)
120
Подобное разбиение фронта волны на зоны можно выполнить, проведя с
центром в точке В сферы с радиусами
г о, fo + V2, + 2Я/2, ro~\-jh/2, ...
Как следует из выражения (6.1), амплитуда возмущения, вызванного /-й
зоной Френеля, в точке В будет
Ео/ = / (aj) ~ Ас>/, (6-3)
т. е. она зависит от площади /-й зоны, угла дифракции осу и от расстояния
между /-й зоной и точкой В. Так как колебания от соседних зон проходят до
точки В пути, отличающиеся на К/2, то в точку В они приходят с
противоположными фазами. Тогда результирующая амплитуда в точке В будет
равна
Ео = ?oi - Е02-\- ?оз - E0i~\-.. ,гр?о;. (6.4)
Знак "+" перед Е0;- соответствует нечетному, а "-"- четному номеру зон.
Для вычисления результирующей интенсивности найдем зависимость амплитуды
от номера зоны. Как мы уже отметили, с увеличением ctj от нуля до я/2
коэффициент наклона уменьшается от максимального значения до нуля.
Следовательно, с увеличением номера зоны происходит уменьшение амплитуд
вследствие изменения коэффициента наклона. Амплитуда, как следует из
(6.3), уменьшается также при увеличении расстояния гп т. е. с увеличением
номера зон, Остается выяснить, как зависит площадь зоны от ее номера.
Докажем, что при некоторых допущениях площади зон независимо от номера
можно считать равными, т. е,
А0! = Ао2 = Ао3 =... =зг Ао.
Радиус /-й (/ - в общем случае произвольное целое число; оно при наличии
экрана с отверстием между S и В равно числу зон Френеля, укладывающихся в
отверстии данного непрозрачного экрана) зоны Френеля обозначим через р;
(рис. 6.2). Очевидно, что площадь /-й зоны равна разности площадей
сферических сегментов, в которых соответственно располагаются /-я и (/ -
1)-я зоны Френеля. Высоту сферического сегмента, в котором располагается
/-я зона Френеля, обозначим через hj.
Как известно, площадь сферического сегмента равна оу = = 2nRhj, Тогда
Any = 0;- - G/-i = 2я/? (hj - fy-i). (6.5)
Для определения h} рассмотрим треугольники SM;C и М;СВ. Как видно из рис,
6.2, R2 - (R - h,) 2 - г*- (r0 + hj)2,
Отсюда
/¦? -Г2
и ¦ . 1 О
ni- 2(Я + г") •
121
Так как г} = г0 + Я/2, то
П = ('о + / у)* = /'о + />оЯ + f
Полагая, что X <; г0 и % R, и пренебрегая третьим членом, получим г, = rl
+ jr0X.
Подставляя это в выражение для h" находим
н.=тЩтг- <6-6)
Учитывая (6.6), получаем выражение для площади /-й зоны:
A"/ = I,RsT7rx- <6'7)
Как следует из (6.7), площадь1 зоны Френеля в данном приближении не
зависит от номера, что и требоьалось доказать.
Таким образом, приходим к выводу, что с увеличением номера зоны
соответствующие им амплитуды в точке В монотонно убывают, т. е. ?01 > ?02
> Е03 > ?04 > ••• Монотонное убывание Е0/ позволяет приближенно выразить
амплитуду средней зоны через амплитуды соседних зон следующим образом:
Еоу - 2 (Eoy-i) "Т Е0 (/+1))* (6.8)
Выражение (6.8) позволяет упростить (6.4). В самом деле, выражая в (6.4)
каждую нечетную амплитуду через их полусумму ( Г E0;-\-E0j \
(Е0/ =----2-- } > получаем:
?0 = у ?01 + (-у-Еп + -) + (-y--e 04+ Т1)+-11 Ео<;-2) Т-, , Ео,\ А,
-g E0U-1)+-f)+^L, (6.9)
А/_3> ?, А (у - 1 > \ Аг/-I)
?0 о - 2) + -^Р- j + - Е0,. (6.9а)
Формулы (6.9) и (6.9а) относятся соответственно к нечетному и четному /.
Если учесть (6.8) в (6.9) и (6.9а), то легко видеть, что выражения в
скобках в (6.9) и (6.9а) равны нулю. Тогда соответственно имеем:
= (6.10)
E0 = -^- + ^^-E0J. <6-10а>
122
При достаточно больших / (/ 1) можно считать, учитывая
монотонное убывание амплитуд, что Eo(;-i) = E0J, Тогда (6.10а)
принимает вид
?"=4г~тг- (6.106)
Объединяя (6.10) и (6.106), получим
Ео = ^-±~~, (6.11)
где знак "-[-" относится к нечетному, а знак "-"- к четному числу зон
Френеля (/ - число зон Френеля, укладывающихся в отверстие экрана).
Зависимость числа зон Френеля от радиуса отверстия и от взаимного
расположения источника, экрана с отверстием и точки наблюдения. Займемся
анализом формулы (6.11). Пусть в отверстии непрозрачного экрана
укладывается только одна зона Френеля. Если радиус отверстия постепенно
увеличивать, то число действующих зон Френеля в точке В будет непрерывно
