Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Мы знаем, что для сходимости функций распределения сумм (1) к предельной Ф(х) необходимо и достаточно, чтобы при п -»¦00
где ip (?) — непрерывная функция; (О при этом оказывается характеристической функцией закона Ф(х).
Ьсли ввести обозначения
к}1 кГ} и _
Чц" ^ MW ^ / x2dFnk(x)
к--1 к 1 — or.
и заметить, что Jxdl-'nk{x) - 0. m функции а (I) могут быть записаны в виде = h„l + /{<'”" 1 itu)- , d(j'„(4).
Как мы знаем, это означает, что является логарифмом характеристической
функции некоторого безналично целимого закона.
Отмстим, что дисперсии f и безгранично делимых законов (2) совпадают.
278
Гл. 9. Теория безгранично делимых законов
Положим
апк ~ — 1 •
Для величин %пк равномерно в каждом конечном интервале t
ссп = шах I &пк | -*¦ 0. (4)
1<к<к
П
Действительно,
a„k=f(eitx - 1 )dFnk(x) =f(e'tx - 1 - itx)dFnk(x), так как
м$пк = JxdFnk(x) = 0.
Мы знаем, что при всех вещественных а | е,а - 1 — /а| < а2/2; поэтому
7 2
7 fx7dFnk(x)‘^D^k. (5)
Из (5) и третьего условия элементарности системы следует (4).
Из (4) мы прежде всего выводим, что при любом Т мы можем считать, что для достаточно больших п и | t\ <Т
\апк\< 1/2. (6)
В силу этого мы можем воспользоваться разложением логарифма в ряд
_ а„к а3пк
ln/nfc(f) = ln0 +anfc) = CW------~ + ~---------• • - = апк +гпк.
Очевидно, что
к к
2 Ц + Щпк +аяЛ)| = | 2 (In/„*(/) -a„fc) | <
п - I п - 1
кп - I <Xnk\S 1 к" lank I2
< 2 2 -.< - 2 -—- (7)
¦k=i n=i s 2 k=i 1 —|апк1
Формулы (5) и (6) приводят к неравенству
кп q^2
Rn< шах | апк | 2 |a„k|< — шах |anfe|.
К к<кп к = 1 2 К А < /Си
§ 46. Предельные теоремы для сумм
279
В силу (4) мы заключаем, что равномерно в каждом конечном интервале t при п -*¦100
I4(0-W)i-0. (8)
Таким образом, мы установили, что в каждой элементарной системе функции распределения сумм f я и безгранично делимые функции распределения, определяемые формулой (2), неограниченно сближаются при п-+ оо, чем собственно теорема 6 и доказана.
Доказанная теорема позволяет заменять исследование сумм (1) случайных величин с функциями распределения, вообще говоря, произвольными исследованием безгранично делимых законов. Последнее, как мы увидим, во многих случаях оказывается весьма простым.
Теорема 7. Всякий закон распределения, предельный для функций распределения сумм элементарной системы, является безгранично делимым с конечной дисперсией и, обратно, каждый безгранично делимый закон с конечной дисперсией является предельным для функций распределения сумм некоторой элементарной системы.
Доказательство. Из предыдущей теоремы мы знаем, что предельный закон для функций распределения сумм (1) является предельным для безгранично делимых законов и, значит, по теореме 3 является безгранично делимым; его дисперсия конечна, так как дисперсии сумм по второму условию элементарности системы ограничены в совокупности. Обратное предложение, что каждый безгранично делимый закон с конечной дисперсией является предельным для сумм, немедленно вытекает из определения безгранично делимых законов.
Теорема 8. Для того чтобы функции распределения сумм (1) при п сходились к какой-нибудь предельной функции распределения и их дисперсии сходились к дисперсии предельного закона, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие функция G(u) и постоянное у, что при п -+°°
к
1) ? / x2dF„t(x)-*G(u) к = 1 —»
? точках непрерывности функций G{u)
2) 2 fx2dF„}l(x)^G(+'*=),
* = 1
Jt
3) 2 JxdF„k(x)^y.
,k = 1
Логарифм характеристической функции предельного закона определяется формулой (1) § 43 с только что определенными функцией G(u) и постоянной у.
280 Гл. 9. Теория безгранично делимых законов
Доказательство. Если ввести обозначения
кп и _
G„(u) = 2 f x2dFnk(x) к = 1 —00
И
^ п
7„ = 2 /xc/F„k0O, fc = i
то мы придем к условиям теоремы 5. Теорема этим доказана.
Несколько видоизменив формулировку последней теоремы, мы можем получить не только условия существования предельного закона, но также и условия сходимости к каждому данному предельному закону.