Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
в совокупности дня любого е > О можно подобрать столь большие по абсолютной величине А и В, что
Lk < е. (4)
Точно так же при любом € > 0 для достаточно больших по абсолютной величине А и В имеет место неравенство
|| / + / {eitu - i dG„(u)j < e. (5)
—°° в u
Из соотношений (3), (4) и (5) выводим, что, каково бы ни было е > О, при достаточно больших значениях к
\Jk -J„\< Зе.
Соотношение (2), таким-образом, доказано. Из (1) видим, что
1
lim InsPnit)= Пт (+1{c,ru - 1 - itu} — dG„(u)) =
ft n ->ao U
1
= ijt * J { eltu - 1 - itu}— dG(u), u
или
lim (iy„k + / {e'tu - 1 - itu) — dG„k(u)) =
n -+oe tU
* 1
= ry + J [eltu — 1 -йн)—~ dG(u). (6)
tu
Из неравенства
I eitu - 1 -i&|< t2u7 J2 и ограниченности в совокупности полных вариаций функций G„ (и)
§ 44. Предельная теорема
275
заключаем, что при t -» О
ru
равномерно по п. Поэтому при t ->0 (6) дает: lim Упк = 7,
(7)
а, с другой стороны, по (2) и (7)
В силу единственности представления безгранично делимых законов формулой (1) § 43 мы заключаем, что Gao (и) = G(u). Итак, любая сходящаяся подпоследовательность функций G„k(u) сходится к функции G(u) и одновременно постоянные у„к сходятся к у. Теперь легко доказать, что вся последовательность Gn(u) также сходится к G(u) и, значит, одновременно lim уп = у. Если бы это было не так, то нашлась бы точка непре-
рывности функций G(u), назовем ее с, и подпоследовательность функций G„k(u), которая в точке и = с при к схддится к числу, отличному от G(c). По первой теореме Хелли мы можем из этой подпоследовательности выбрать сходящуюся подпоследовательность Gnkf (и).
Из предыдущего следует, что во всех точках непрерывности функции G (и)
lim Gnkr(u) = G(u).
Это противоречит сделанному нами допущению. Таким образом, во всех точках непрерывности функции G(u)
lim G„(u) = G(u);
Г-reo
П
как мы видели, отсюда немедленно следует, что
lim уп = у.
Теорема доказана.
276
Гл. 9. Теория безгранично делимых законов
§ 45. Постановка задачи о предельных теоремах для сумм
Дана последовательность серий ?i 1 > ?i 2 - • • ¦ ) ?i*, >
1 , %22 , ¦ ¦ ¦ , %2к2 ,
(1)
независимых в каждой серии случайных величин. Спрашивается, к каким предельным функциям распределения могут сходиться функции распределения сумм
при п -+°° и каковы условия этой сходимости?
В дальнейшем мы ограничимся изучением элементарных систем, т.е. последовательностей серий (1), для которых выполнены следующие условия:
1) величины %пк имеют конечные дисперсии,
2) дисперсии сумм fn ограничены не зависящей от п константой С,
3)Рп= max D?nfc->-0 при и->¦<».
Последнее требование означает, что влияние отдельных слагаемых на сумму становится все меньше и меньше с возрастанием п.
Рассмотренные нами ранее предельные теоремы для сумм, очевидно, укладываются в эту общую схему. Так, в теоремах Муавра—Лапласа и Липунова мы имели следующую последовательность серий:
1 > 2 ’ ' ' ' ’ %пп ’
где
В теоремах Бернулли, Чебышева и Маркова о законе больших чисел мы также имели дело с последовательностью серий, в которых в качестве %пк взяты величины
fn ?« I + ?ц2 + • • • + %пкп
?* - MS*
(1 < к < и; и = 1,2,...).
?* - MS*
§ 46. Предельные теоремы для сумм 277
§ 46. Предельные теоремы для сумм
Пусть имеется элементарная система; обозначим через Fnk(x) функцию распределения случайной величины ?пк и через Fnk(x) — функцию распределения величины %пк = %пк — очевидно, что
'rnk(x) = Fnk(x +м?„*)-
Теорема 6. Для того чтобы функции распределения суммой = ^п \ +%п2 + ¦ ¦ - + $пкп (1)
при п -»¦ 00 сходились к предельной функции распределения, необходимо и достаточно, чтобы к предельному закону сходились безгранично делимые законы, логарифмы характеристических функций которых определяются формулой
ф„(г)= 2 umnk+f(ef,x 1 )dFnk(x)} *). (2)
k ^ l
Предельные законы для обеих последовательностей совпадают.
Доказательство. Характеристическая функция суммы (1) равна к п
кп it 2 ML, кп
^(/)=fcn/nk(0 = e ' П fnk(t), (3)
к = 1
где fnk{t) - характеристическая функция случайной величины %пк, а f к (О — характеристическая функция величины ?nfc.
